Канадський математик Роберт Ленґлендс отримав Абелівську премію 2018 року — за “відкриття виняткових і далекосяжних зв’язків між алгеброю, теорією чисел та аналізом”. Про це сьогодні, 20 березня, оголосила Норвезька академія наук
81-річний математик досі є активним членом Інституту передових досліджень у Принстонському університеті. В кабінеті, де розташований його офіс, до речі, колись працював Альберт Ейнштейн.
Славу математику принесла так звана “програма Ленґландса”, основні принципи якої він обґрунтував ще у 1967 році. “Програма Ленґландса” — це щось на кшталт Розетського каменя, який дозволяє перекладати одну мову математики на іншу. Як наслідок, проблему, яка недоступна на одній мові, можна вирішити на іншій. Два, на перший погляд, не пов’язані між собою концепти стають двома аспектами глибшої правди.
Інші дослідники поставили собі за мету розширити обсяг програми. Принаймні троє математиків здобули Медаль Філдса за підтвердження окремих частин загальної схеми. З часом учені збагнули, що деякі старі питання математики — це, власне, спеціальні випадки розширеної програми. Так, гіпотези Вайля розв’язав П’єр Делінь, який за це дослідження отримав Абелівську премію 2013 року. Іншу проблему розв’язав британський математик Ендрю Вайлз у 1990-х. Ця праця також принесла йому Абелівську премію 2016 року.
Обсяг зв’язків у “програмі Ленґландса” настільки широкий, що її стали називати “великою об’єднаною теорією математики”. Ці зв’язки часто збивали з пантелику навіть самого Ленґландса. “Це майже так само, як почати для археолога шукати камінь і знайти на його місці цілу піраміду”, — розповідає математичний фізик Роберт Дійкграф, який очолює IAS.
Першу версію програми Ланґландс окреслив у 1967 р. Його відправною точкою стала теорія алгебраїчних рівнянь (зокрема квадратних рівнянь, які вивчають у школі). На початку ХІХ ст. французький математик Еварист Галуа виявив, що рівняння з вищими ступенями можна розв’язати лише частково. Але він також показав, що розв’язання таких рівнянь пов’язане з симетрією. Наприклад, рішення рівняння x5=1 можна представити як п’ять точок на колі, якщо його нанести на граф, утворений з ряду дійсних чисел вздовж однієї осі і уявних вздовж іншої. Він показав, що навіть якщо такі рівняння неможливо вирішити, все-таки можна отримати багато інформації про розв’язки із вивчення таких симетрій.
Підхід Ленґландса, який надихнули подальші здобутки в теорії Галуа, дозволив перекладати алгебраїчні проблеми на мову гармонічного аналізу — підрозділу математики, який розбиває складні функції на простіші тригонометричні “будівельні блоки”.
У 1980-х народжений в Україні математик Володимир Дрінфельд, який зараз працює в Чиказькому університеті, запропонував аналогічний зв’язок між геометрією та гармонічним аналізом. Хоча виглядає на те, що програма Ленґландса тільки віддалено надихнула його підхід, математики в наступні роки знайшли сильні докази того, що дві сфери пов’язані (Дрінфельд отримав Золоту медаль Філдса за 1990 рік).
“Програма Ленґландса” також містить старшу гіпотезу, яка пов’язує певні рівняння з гармонійним аналізом і була підтверджена доведенням Великої теореми Ферма Ендрю Вайлзом. Довести Велику теорему Ферма, до речі, не вдавалося цілих 300 років! “Для мене це була велика приємність, але також великий сюрприз”, — писав Ленґландс у 2007-му, коли Вайлз використав його дослідження у своєму доведенні.
Математичне поле, яке виросло із “програми Ленґландса”, стало таким широким, що сам математик втратив розуміння всіх досліджень, які випливають із неї, зокрема наслідки, які її геометрична версія має для фізики. Його колега по IAS Едвард Віттен, фізик-теоретик, нагороджений Золотою медаллю Філдса, який досліджував ці зв’язки у 2000-х, сказав: “Особисто я розумію лише невелику частинку програми Ланґландса”.
Абелівську премію прирівнюють до Нобеля для математиків. Її вручають щороку, починаючи з 2003-го, а її грошовий еквівалент становить 6 млн норвезьких крон ($777 000).
Davide Castelvecchi
‘Grand unifying theory of maths’ nets Abel Prize
Nature, 20.03.2018
Зреферував Євген Ланюк