Що спільного між математикою та релігією? Чи можна провести паралелі між десятьма Божими заповідями та фундаментальними аксіомами, на яких будується сучасна математика? Чому математичний всесвіт нагадує створення фізичного світу?
Стислий виклад лекції математика, доктора фізико-математичних наук Тараса БАНАХА «Методологічні, теологічні та класові основи математики», прочитаної в рамках семінару «Обрії науки»*, організованого УКУ спільно з Львівським математичним товариством.
Методологічні, класові та теологічні основи математики
Наша сьогоднішня тема містить два доволі провокаційні терміни — "класовий" та "теологічний". Однак якщо розібратися, вони мають глибоке значення в контексті осмислення математики.
Говорячи про "класові" основи, варто зауважити, що це поняття значною мірою спотворене марксистсько-ленінською традицією. Проте сучасне покоління вже не асоціює його виключно з ідеологічними штампами.
Щодо теологічних аспектів, то вони мають прямий зв’язок із фундаментальними засадами математики, адже ця наука базується на вірі в певні початкові принципи та логіку як функціональну дисципліну.
Чому математика складна?
Математика викликає труднощі у багатьох людей, і причин для цього чимало. Одне з ключових пояснень полягає в тому, що її вивчення починається не з основ, а з певної "середини". В інших дисциплінах таке трапляється рідше. Наприклад, у літературі можна почати з певного періоду, припускаючи, що попередні етапи відомі. Але щодо математики такий підхід породжує серйозні проблеми.
Шкільна і навіть університетська програма часто пропонує абстрактні поняття без чіткого роз’яснення їхніх фундаментальних основ. Вважається, що людина ще в дитячому садку засвоїла поняття числа і не потребує подальших пояснень. Але це хибне припущення, оскільки багато студентів, навіть на математичних факультетах, не мають глибокого розуміння базових термінів.
У результаті з'являється феномен "незрозумілого знання" — коли людина використовує математичні терміни, не розуміючи їхньої суті. Це накопичує нерозуміння і створює бар’єри у сприйнятті науки.
Абсолютна точність математики
Математика унікальна серед наук тим, що вона дає можливість отримати абсолютне знання. Це рідкісний феномен. Якщо ми приймаємо певні аксіоми і визнаємо логіку як функціональну дисципліну, то всі висновки, зроблені в її межах, будуть абсолютно точними.
Однак математика водночас є наукою про щось невизначене. Її складно чітко окреслити. Коли я навчався в університеті, нам пропонували визначення, які відповідали ідеологічним догмам марксизму-ленінізму. Однак такі спроби класифікації виявлялися далекими від істини.
Прийнято ділити науки на точні та гуманітарні. У цьому контексті точність математики визначається її здатністю давати недвозначні означення. Це і є головною ознакою точних наук: вони можуть чітко пояснити, про що саме йдеться в їхніх теоріях і твердженнях.
Основи сучасної математики
Математика розвивалася протягом кількох тисячоліть, поступово виробляючи власну методологію. Сучасний підхід ґрунтується на чітко визначеній структурі: означення, аксіома, теорема, доведення. Ця система формалізована настільки, що навіть комп’ютери можуть перевіряти правильність доведень.
Одним із фундаментальних підґрунть сучасної математики є аксіоматична теорія множин Цермело-Френкеля (ZFC). Вона стала базовою основою математичних досліджень, дозволяючи сформулювати строгі принципи побудови математичних об’єктів.
Цікаво, що розвиток математики можна розглядати через призму принципу "бритви Оккама" — філософського правила, яке закликає уникати зайвих сутностей у поясненнях. Саме цей принцип спричинив усунення надлишкових концепцій і призвів до сучасного мінімалістичного формалізму теорії множин.
Існує певний парадокс: усунення зайвих пояснень часто робить математичні концепції більш складними для розуміння. Наприклад, у релігії поняття Бога дає просте пояснення буття, тоді як у математиці подібну роль відіграє формальна логіка й аксіоми. Це наштовхує на думку, що математика має як атеїстичний, так і теологічний вимір.
Початки в математиці
Математика, як і будь-яка наука, має свої вихідні засади. Неможливо довести абсолютно все, тому необхідно прийняти певні аксіоми як основні твердження без доведення. Аналогічно, будь-яке формальне означення спирається на певні невизначені поняття.
Таким чином, математика, незважаючи на свою строгість і точність, будується на фундаментальних припущеннях, які в підсумку залишають місце для філософських роздумів про природу знання та істини.
Це розуміння існувало ще з часів Аристотеля та Евкліда. Останній побудував свою геометрію на невизначених поняттях, таких як точка, пряма і площина, які знайомі всім зі шкільного курсу.
Тривалий час математика базувалася на евклідовій геометрії, оскільки вважалося, що просторове мислення вбудоване у людську свідомість на генетичному рівні. Однак у XIX столітті відкриття неевклідових геометрій продемонструвало, що геометрія може бути різною. Подальші дослідження у фізиці, зокрема роботи Рімана і Мінковського, показали, що геометрія простору може бути криволінійною, а класичні уявлення про простір — неповними.
Теорія множин і математичний "рай"
Коли постало питання, що ж має бути в основі математичних понять, Георг Кантор запропонував аксіоматичну теорію множин. Вона базується на двох неозначених поняттях — множина та елемент. Саме ця пропозиція значно спростила формалізацію математики.
Знаменита фраза Давида Гільберта — "ніхто нас не зможе вигнати з раю, створеного для нас Кантором" — відображає захоплення математиків новою структурою, яка надає строгість і логічну завершеність побудові математичних об’єктів. Однак цей "рай" мав своїх критиків, які намагалися його зруйнувати, ставлячи під сумнів основи теорії множин.
Завдяки теорії множин стало можливим строго означати абстрактні поняття, зокрема числа. Наприклад, у рамках цієї теорії числа можуть бути визначені через класи еквівалентності рівнопотужних множин.
Цікаво, що навіть у питанні числення існує культурна різниця. У західній традиції числення починається з нуля, тоді як у східній — з одиниці. Це проявляється навіть у повсякденному житті: наприклад, у західних країнах поверхи будівель починаються з нульового (партер), а у східних — з першого.
Нуль як натуральне число став загальноприйнятим лише в середині ХХ століття завдяки зусиллям групи математиків, відомої як "Бурбакí". Це стало значним кроком у формалізації числення, оскільки нуль можна трактувати як порожню множину — фундаментальне поняття в аксіоматичній теорії множин.
Побудова чисел у цій системі виглядає доволі просто: нуль — це порожня множина, одиниця — множина, що містить нуль, двійка — множина, що містить нуль та одиницю, і так далі. Цей метод дозволяє строго визначати числа і їхні властивості на основі мінімального набору аксіом.
Таким чином, сучасна математика, базуючись на аксіоматичній теорії множин, продовжує еволюціонувати, відкриваючи нові перспективи та методологічні підходи до розуміння реальності.
Альтернативні підходи до формалізації математичних понять
У 1940 році, напередодні Другої світової війни, фон Нойман, Бернайс і Гедель запропонували альтернативний підхід до розв’язання проблеми парадоксів теорії множин. Їхня ідея полягала в тому, що не все у математиці є множиною. Вони запропонували поняття класу — загальнішого об'єкта, ніж множина.
За цією концепцією, множина є лише частковим випадком класу, тобто класами можуть бути як множини, так і об'єкти, що не є множинами. Це дозволило уникнути парадоксів, таких як парадокс Рассела, і забезпечило новий рівень формальної строгості в математичній логіці.
Платонізм у математиці
Ідея класів перегукується з філософією Платона, згідно з якою математичні об'єкти існують у незалежному ідеальному світі, а математики лише відкривають їх. Багато сучасних математиків дотримуються платоністичного погляду, вважаючи, що математичні істини мають об'єктивне існування незалежно від людського розуму.
У рамках теорії фон Ноймана – Бернайса – Геделя (NBG) класи позначаються великими літерами, множини — маленькими. Властиві класи — це такі, що не можуть бути множинами. Наприклад, клас усіх множин є властивим класом, оскільки, згідно з парадоксом Рассела, множина всіх множин не може існувати без суперечностей.
Аксіоматизація математичних структур
Система NBG містить 14 аксіом (у деяких варіантах — 12), що дозволяють формально побудувати всю сучасну математику. Вона поділяється на три групи: аксіоми рівності, аксіоми класів і аксіоми множин. Така структура нагадує Декалог — 10 біблійних заповідей, які теж поділені на групи: перші три регулюють відносини людини з Богом, а решта — між людьми.
Зрештою, концепція класів та множин дозволила усунути парадокси, що загрожували фундаментальним основам математики. Вона стала основою сучасного формалізму, що поєднує логічну строгість із можливістю оперувати нескінченними об'єктами без суперечностей.
Парадокси та межі мови математики
Математика значною мірою працює з нескінченністю, і не всі множини є скінченними. Для роботи з такими множинами використовується поняття конструктора — процедури, що збирає множини з певними властивостями в єдиний об’єкт.
Однак із розвитком теорії множин з’явилися парадокси, які поставили під сумнів її бездоганність. Одним із найвідоміших був парадокс, відкритий Бертраном Расселом. Його парадокс стосувався природи множин і самореференційних визначень, що виявили суперечності в традиційному розумінні теорії множин.
Парадокс Бері, інший лінгвістичний парадокс, показав необхідність строгих уточнень у математичній мові. Він демонструє, що навіть прості на перший погляд властивості чисел можуть стати джерелом парадоксів, якщо вони формулюються неточно.
Інший парадокс пов'язаний із так званими "цікавими числами". Якщо визначити число як цікаве, якщо воно має певну цікаву властивість, то можна припустити існування "найменшого нецікавого числа". Однак саме ця його характеристика робить його цікавим, що призводить до суперечності.
Зрештою, вирішення подібних парадоксів стало можливим завдяки розвитку формальної математичної мови. Вона дозволила усунути неоднозначності, водночас ізолюючи математику від природної мови, що робить її важкодоступною для неспеціалістів. Тим не менш, ця строго регламентована система забезпечує абсолютну точність математичних висновків.
Класові аксіоми й операції над класами
Класові аксіоми NBG описують дозволені операції над класами, зокрема множення класів, формування декартового добутку, проєкції, різниці, інверсії та циклічних замін. Відношення у математичній логіці описуються як класи, елементами яких є впорядковані пари. Це дозволяє чітко формалізувати такі поняття, як "менше", "більше", "еквівалентність" тощо.
Однією з важливих аксіом є аксіома вибору, яка стверджує, що в будь-якій множині можна вибрати хоча б один елемент. Це положення має важливе значення в багатьох математичних доведеннях і є основою для таких парадоксів, як парадокс Банаха-Тарського.
Аксіома нескінченності забезпечує існування нескінченної множини та дозволяє побудувати натуральні числа. Це фундаментальне твердження, яке відрізняє математику від інших дисциплін, адже воно вводить нескінченність як базовий концепт.
Таким чином, сучасна аксіоматична система математики не лише формалізує її логічні основи, але й має глибокі філософські наслідки. Вона дозволяє розв’язати парадокси, забезпечити строгість доведень і впорядкувати роботу з нескінченними множинами. Крім того, вона містить аналогії з теологічними та метафізичними концепціями, що вкотре підтверджує зв’язок між наукою, логікою та світоглядними уявленнями.
Математика як метафізична та логічна система
Математика — це не просто наука про числа та рівняння, а спосіб моделювання реальності, що поєднує формальну логіку, аксіоматичні підходи та глибокі філософські концепції. Вона еволюціонувала від простих обчислень до складних теорій, які сьогодні лежать в основі не лише природничих наук, а й фундаментальних уявлень про саму природу знання.
Розглядаючи математичні основи через призму теології, класової структури та методологічних принципів, ми бачимо, що ця дисципліна не лише віддзеркалює логічну строгість, а й нагадує систему вірувань, де аксіоми відіграють роль догматів. Як і релігія, математика оперує поняттями, що приймаються на віру, проте вона забезпечує внутрішню несуперечливість через строгі доведення.
Парадокси, які виникають у математиці, підкреслюють межі людського розуміння та необхідність постійного перегляду концептуальних основ. Теорія множин, аксіома вибору та класи як узагальнення множин демонструють, як розвивається наука, шукаючи баланс між логічною строгістю та можливістю описувати нескінченні структури.
Зрештою, математика залишається відкритою системою, що постійно вдосконалюється, а її паралелі з теологічними й класовими концепціями нагадують про зв’язок науки, культури та людського мислення. Вона є своєрідним "конструктором реальності", де від вибору аксіом залежить устрій цілих математичних світів. Тож питання про її справжню природу — суто логічну чи також метафізичну — залишається відкритим і для філософів, і для математиків.
Занотував Андрій Гриниха
Зображення клікабельне: клацніть по ньому і відкриєте запис повної версії лекції "Методологічні, теологічні та класові основи математики
*Міждисциплінарний семінар "Обрії науки" діє вже впродовж майже двадцяти років. Виник в академічному середовищі Львова як місце зустрічі, де всебічно обговорюються проблеми сучасної науки мовою, доступною для розуміння представникам різних галузей. Зараз до цієї ініціативи приєдналося і Львівське товариство науковців - унікальний проєкт, спрямований на підтримку української наукової спільноти в умовах війни та економічної нестабільності. Започаткований Українським католицьким університетом за підтримки Фонду Сімонса та його президента Девіда Спергеля, під керівництвом першого проректора УКУ Ярослава Притули, це товариство покликане об’єднати досвідчених учених і молодих дослідників, сприяючи наставництву, співпраці та розвитку активного наукового середовища.
13.02.2025