Краще рахувати голоси, не трупи

Войцех Орлінський

В неділю чекає нас участь у виборах при одній з найнезрозуміліших ординацій. Звідки взагалі взялась ідея голосування? І чому вона базово несправедлива?

Голосування є чимось вписаним в нашу культури так само міцно як християнство, грецьке мистецтво і римське право. Часто ми пов'язуємо голосування з сучасною демократією, а голосували, прецінь, і в середньовічних палатах перів і на церковних соборах. Ба, є установи зі збереженою безперервністю колегіального вибору, сягаючою середньовіччя, – як, наприклад, університети, що сотні років вибирають ректора, республіки з середньовічним коренями (як Сан-Маріно) чи врешті католицька Церква. Конклав, тобто церемонія вибору нового Папи – це одна з найзнаменитіших і найстаріших виборчих процедур започаткована в XIII столітті Григорієм X.

Відданість нашої цивілізації голосуванню ми відчуємо, коли порівняємо себе з іншими, котрі століттями обходилися без цієї норми. Наприклад в японському сьоґунаті колективні органи функціонували, але в них панувала ієрархія.

Відомо було, хто представляє важливіший рід, а отже має більше до казання. Суперечки розв'язували не голосуванням, а лиш сягаючи по мечі. Рахували трупи, не голоси.

Спосіб розв'язання суперечок в колективних органах через "хто сильніший" здається, в суті своїй, природнім. Навіть в нашій цивілізації часто закінчується саме так. Тим цікавішим є питання: як, власне, так сталося, коли сотні років тому ми вирішили, що краще шукати іншого розв'язків?

Чорні кулі, білі кулі

Захоплююча книжка "Лічиться кожен голос" [„Każdy glos się liczy!] Казимира Жажевського, Войцеха Сломчинського і Карла Жичковського описує історію голосування з декількох точок зору. Одним з них є історично-культурний аспект, але ж голосування – це і захоплююча математична проблема.

Невипадково найстаріший опис процедури голосування ми маємо завдяки Аристотелю. Вже тоді це вважалося проблемою, гідною найвидатнішого розуму епохи.

Аристотель вважав, що не дасться справедливо провести загальне голосування – занадто легко вони зманіпульовуються. "Демократичною вважаємо владу, яка обирається жеребкуванням, за олігархічну ж — коли виборами" – писав у "Політиці".

Після себе він залишив опис процедури жеребкування. До нині на честь греків шкільні завдання з початкових обчислень ймовірності говорять про урну з білими і чорними кулями.

Афіняни таким чином вибирали серед іншого членів Ради П'ятисот, які вже приймали рішення голосуванням. За засудження Сократа голосувало, наприклад, 280, а 221 — за виправдання.

Аристотель усвідомлював вади цього розв'язку, але все ж вважав, що не вдасться придумати іншої системи, яка б гарантувала кожному громадянинові шанс на високу посаду. Польського читача, якого зачарує візія афінської демократії, відсилаю до роману Якова Шамалка (прозаїка і популяризатора античної історії) "Коли Афіна відвертає зір"

Це детектив з політичним фоном, який ефективно лікує ідеалізацію стародавніх розв'язків. Їх демократія була такс само несправна і скорумпована як демократії XX століття.

Вибери менше зло

Але чи людству вдалося придумати щось кращого в наступні двадцять декілька сторіч? Прогрес є, але однак невеликий. І це не є моєю приватною думкою, тільки науковим фактом, відкритий наприкінці XVIII століття двома математиками.

Це були Жан-Шарль де Борда і маркіз Марі Жан Антуан Ніколя Кондорсе. Обидва мали значний доробок в інших галузях знань (Борда був піонером метричної системи, а Кондорсе розвивав диференціальні рівняння і розрахунок ймовірностей).

В кінці XVIII віку сперечалися про ідеальну систему вибору голови Французької Академії. Обидва одночасно виразно зрозуміли, що ідеальна система взагалі не може існувати: перш, ніж на виборах ми почнемо вибирати традиційне "менше зло", ми мусимо здецидуватися на якесь менше зло стосовно виборчої процедури

В чому проблема? Кондорсе зауважив, що якщо ми маємо для вибору декілька кандидатів, справедливий вибір буде тоді, коли виграє той, котрий виграв би у безпосередній конфронтації з кожним з суперників. Якщо ми маємо кандидатів А, B, C, D і Е, то А є переможцем в сенсі Кондорсе, якщо в кожній парі типу А проти B, А проти C (і так далі) з меншою або більшою перевагою завжди виграє A.

Добра виборча система повинна гарантувати виграш "переможця Кондорсе" і поразку "переможеного Кондорсе". На практиці, однак, ми рідко навіть пробуємо наблизитися до цього ідеалу. Стосуємо системи, про які наперед відомо, що не виконують критеріїв Кондорсе.

Кандидат-виглуп

Чому? По-перше, це було б заобтяжливо – вимагало б серії голосувань "кожен з кожним". А по-друге, тому, що навіть тоді є можливим такий пат як в грі "папір, камінь і ножиці" – А виграє з B, B виграє з C, C виграє з A. Переможця в сенсі Кондорсе може взагалі не бути!

Такі ситуації трапляються в житті. Автори книжки наводять приклад конкурсу на найкраще вино, проведеного в 1976 році в Парижі. У оцінці експертів п'ять найкращих вин створили класичний цикл Кондорсе.

Ніколя Борда запропонував іншу систему, в якій кожен виборець розкладає кандидатів згідно преференцій – від того, якому бажає перемоги, аж до того, котрому бажає поразки. Цю систему знають в Польщі, між іншим, шанувальники наукової фантастики, бо так визначають найважливішу в цьому середовищі Нагороду ім. Януша Зайдла.

Цей метод також має свої вади, бо в ній "кондорсівський переможець" може програти, якщо його супротивники змовляться і консеквентно голосуватимуть на віце-лідера. Але все ж, у свою чергу, має цей метод ту перевагу, що не може в ній виграти "кондорсівський переможений".

Тим часом в реальному політичному житті ми вживаємо часто виборчу систему, яка не виконує навіть основних критеріїв Кондорсе. Така небезпека є вписана в кожну мажоритарну систему.

У Польщі в президентських виборах 1990 року до другого туру вийшов якийсь Стан Тимінський, кандидат-виглуп. Був кондорсівським переможеним в тому сенсі, що програв би в другому турі з кожним опонентом. Але якраз саме він вийшов до другого туру.

Це пояснювали тоді незрілістю польської демократії, хоча такі випадки трапляються і в дуже старих демократіях. У Франції в 2002 році згідно опитуваннями "кондорсівським переможцем" (тобто тим, хто вигравав з кожним в другому турі) був Ліонель Жоспен. Але у другий тур вийшли Жак Жірак і Жан-Марі Ле Пен, через що французи мали хіба ще гірший другий тур, аніж поляки в 1990-му.

Партійна маніпуляція

Істина є ж бо така, що хоч мажоритарні вибори відповідають, щоправда, нашій інтуїції, але з математичної точки зору є якнайгіршим рішенням з усіх можливих.

Вони нечувано піддаються на такі легальні маніпуляції, як хоч би джеррімендеринг — компонування меж виборчих областей так, щоб просунути визначену партію.

Через це при мажоритарній ординації партія, що має більшість в опитуваннях, може мати меншість в парламенті, це явище відоме щонайменше зо двіста років (назва походить від губернатора стану Массачусетс Елбриджа Джеррі, який в 1812 наурядував такі дивні виборчі округи в районі Бостона, що опозиційна "Boston Gazette" дорисувала до одного з них пащу і хвіст, отримуючи " джеррімендру", тобто саламандру Джеррі.)

Очевидно, пропорційні системи також не без вад, бо тут знову диявол сидить в деталях. Від того, як ми заокруглюватимемо рештки, що залишаються після обрахунків пропорцій — вверх чи вниз? – може залежати те, яка партія сформує ряд, а яка перейде до опозиції.

Виборчі же ординації рідко укладають математики з думкою про віднаходження оптимальної моделі. Навіть якщо їх запрошують консультантами – остаточні децизії приймають політики, котрі керуються критеріями, що не мають нічого спільного з математикою.

Прикладом є хоч би відомий "квадратний корінь", за який колись хотів вмирати Ян Марія Рокіта. Вписано його в ніццький договір 2001 року і посилався він на математичну закономірність, згідно з якою реальний вплив політичної партії в парламенті пропорційний радше кореню квадратному її мандатів, аніж самому числу мандатів (малі партії сильніші, ніж здається, бо можуть відігравати роль "язичка ваг").

Посилаючись на цю закономірність, ніццький договір пропонував, щоб голосування в Раді Європейської Унії відбувалися в зваженій системі, в якій голос даної держави був би (у першому наближенні) пропорційний його населенню. Це було б вигідно середнім державам — таким як Польща чи Іспанія.

Європа зрештою відійшла від цього принципу в ніццькому договірі 2007 року (хоч невідомо, чи колись не повернеться). Напевно змінена також буде ординація до Європейського Парламенту. Мабуть, на таких дивних засадах як тепер ми голосуватимемо вже останній раз.

Нині поділ мандатів між партіями визначають за результатами по всій країні (рахованою як один виборчий округ), а лише потім їх розділяється між комітетами, рахованими в окремих округах. Автори книги показують, що якби в 2009 році рахували голоси так само, але навпаки (спочатку комітети, потім округи), аж вісім мандатів з 50-ти змінило б власника!

Отож, в неділю чекає нас участь у виборах за найбільш незрозумілою системою, яка взагалі була в III Речі Посполитій. Це, мабуть остання нагода, отож хоч би тому варто йти до урни. І немає чого нарікати на математичні парадокси, супутні виборчим процедурам. Террі Пракчетт описує в "Світі Диску" республіку Анкх-Морпорк, в якій панує виборча система без таких проблем.

Це система "одна людина – один голос". Цією людиною є лорд Гавелок Ветінарі, патріарх Анкх-Морпорк. То він має оцей один голос.

У половині 50-х років математик і економіст Кеннет Ерроу сформулював парадокс Ерроу, згідно з якою єдиною системою прийняття рішення без математичних парадоксів є диктатура. Очевидно, це є журналістське, звульгаризоване представлення парадоксу Ерроу – автори книжки правильно нарікають на таку тривілізацію і пояснюють цей парадокс точніше.

Але з тим вже відішлю вас до цієї книжки, яку повинен прочитати кожен виборець.

Kazimierz Rzązewski. Wojciech Słomczyński. Karol Życzkowski.
„Każdy glos się liczy! Wędrówka prasz krainę wyborów”.