Одне з двох: або дійсні числа зовсім не є дійсними, або вільна воля є ілюзією, а мислення і діяльність не мають ніякого сенсу.
В одній фірмі, важко переміщаючи свої чисельні архіви і нарікаючи на допотопні носії даних (безкислотний папір, схований в кислотостійких папках), працівники переповідали анекдот з розряду наукової фантастики. Ось на Землю прилітають косміти з місією заархівувати нашу планету – записати всю доступну інформацію про Сонячну систему й утвори цивілізації на третій, рахуючи від зірки, планеті. Отож збирають дані, перетворюють їх у цифрову форму, а потім записують у вигляді одного дуже довгого числа. Перед цим числом ставлять нуль і кому – й отримують дріб у інтервалі від нуля до одиниці.
Потім беруть сталевий пруток одиничної довжини і з надзвичайною точністю гравірують на ньому рисочку, відзначаючи місце зазначеного дробу на числовій осі. Зроблено. Кінець. Finito. Жодних бібліотек, жодних сувоїв, жодних дисків, а тим більше тонн паперу, папок і швидкозшивачів.
Паличка з рисочкою, а в ній вся інформація всіх земних бібліотек і величезних архівів. Надто гарно, щоб бути правдою?
Погоджуюсь. Але чому, власне?
Злостивість квантових речей?
На перешкоді такому геніальному – визнаймо – способу архівації стоять самі закони природи. Уявімо собі, що ми беремося за скрупульозне видовблювання відповідної рисочки. Очевидно, для точності нам треба буде передусім збільшувальне скло, може, навіть лупа, а вкінці навіть непоганий мікроскоп. Коли точність, з якою ми хочемо вказати точку, зростає, то зростає і збільшення, в якому ми дивимося на сталевий пруток. В певний момент ми отримуємо таке збільшення, при якому видимою стає атомна структура сталі. Ми бачитимемо вже не монолітний матеріал, але окремі атоми, а потім атомні ядра, оточені хмарками рухливих, вібруючих електронів. Неможливо навіть уявити видовблювання між ними риски – це те саме, що поставити знак на живій течії річки.
І саме тому, як переконує Ніколя Ґізін, професор фізики з Університету в Женеві, що займається телепортацією і квантовою криптографією, дійсні числа не такі вже дійсні, не такі реальні, як нам здається. Тобто математичне поняття дійсного числа радше не має реальної репрезентації в реальному світі.
Числа, що описують наш світ, зовсім не заповнюють густо відрізків прямої, як ми вчимо в школі, і не мають точно визначеного значення. "Дійсні" вони тільки до певного місця після коми, а далі втрачають дійсне значення, розмиваються, подібно як розмивається хмарка правдоподібності локалізації електрона в даному пункті. Їхній початок визначається цілком добре, але в певному моменті вони стають все менш дійсними, менш гострими, менш виразними, а їхні "хвостики" після якоїсь (тисячної, мільйонної, мільярдної?) позиції перетворюються в цілком випадкові цифри. І дуже добре – зрештою, нам ніколи нічого не треба знати з такою безсенсовною, нескінченною точністю, ця пригнічуюча кількість інформації нам ні до нічого не придатна.
На практиці цілі числа ніколи не використовуються, крім випадків, коли доводять певні абстрактні твердження.
Загадка кореня з двох
Очевидно, деяким дійсним числам вдається існувати цілком реально. Візьмім, наприклад, корінь із двох. Що може в ньому бути нереального? Ми будуємо квадрат з одиничною стороною (природа знає безліч таких квадратів, ці конструкти не мають у собі нічого підозрілого). Діагональ такого квадрата має довжину корінь з двох, а діагональ – визнайте – є цілком реальним елементом квадрата.
До речі, квадратний корінь з двох в історії вже раз був причиною немалого скандалу серед математиків і філософів – настільки серйозного, що призвів до людських жертв. Так-ось, у стародавній Греції вважали, що всі числа походять від натуральних чисел і можуть бути отримані з них доданням, відніманням та множенням і діленням. Іншими словами, всі вони мають вигляд або натуральних чисел, або дробів. Корінь із двох виявився проблемою, бо дробом бути не хотів – тобто легко вдалося довести, що неможливо підібрати такі m і n, щоб √2=m/n. Ті, що зауважили цю річ, визнали її надзвичайно нефортунною. Вирішено було всю цю справу тримати в таємниці, бо ж вона потрафила спаплюжити світовий порядок. Першого математика, який зауважив числового виродка, вбили – в надії, що він, забираючи із собою до могили таємницю про тривожну недосконалість, забере разом із цією таємницею і числа такого року. Даремно. Квадратний корінь з двох існував.
Чи ж нині знову пробують внести сумнів у його існування? Аж ніяк. Ґізін, який заперечує сенс розгляду дійсних чисел, якраз корінь із двох не оспорює.
"Таке число, хоч нескінченно довге, кодує дуже небагато інформації – а саме стільки, скільки потрібно, щоб записати теорему Піфагора, що його визначає, або щоби написати програму, що генерує це число з довільною точністю", – пояснює він. Це лише кілька біт. Стільки можна вмістити в одній точці. Однак цього типу числа серед т.зв. дійсних чисел є в зникомій меншості (математики скажуть, що їхня множина має нульову розмірність).
"Типове" дійсне число містить в собі величезну, якщо не безконечну кількість інформації. Це монстр. Може містити в собі всі відповіді на всі можливі питання, зашифровані в цифровій формі. Щось подібне не має права існувати в реальності, бо "в скінченному об'ємі простору ніколи не зможеш вмістити нескінченну кількість інформації".
Коли я питаю, чому не зможу і чи би не вдалося запхати нескінченно багато інформації в нескінченно мале місце, Ґізін дає дуже фізичну інтуїцію парадокса, до якого це може призвести.
"Збереження інформації завжди коштує витрат якоїсь енергії. Збереження дуже великого набору даних коштує дуже багато енергії; а якщо намагатися вмістити це все в одній точці, то ми неминуче закінчимо чорною дірою", – стверджує він.
Саме тому після перших кількох біт наступні біти, пов'язані з майже всіма дійсними числами, є повністю випадковими, їм не відповідає жодна фізична структура, жодна реальність. Вони радше нагадують результат квантових вимірювань, тобто є значною мірою випадковими.
Класична механіка, базована не на нереальних по суті дійсних числах, а на числах, "дійсно випадкових" (тобто з невизначеною кінцівкою), могла би бути недетерміністичною теорією, хоч реально, до речі, мала би таку саму пояснювальну і прогностичну силу, що й використовувана досі фізика. Зрештою, навіть коли би ми були здатні вираховувати все із точністю до мільярдного знаку після коми, то з практичних міркувань це би було зовсім безглуздим. Фізика, базована на дійсно випадкових числах, мала би ще одну глибоко філософську цінність – вона би відновила нам сенс існування.
Як наука вбила вільну волю
Успіх ньютонівської астрономії був у певному сенсі інтелектуальною катастрофою: він створював ілюзію описувального, обчислювального світу, який не лишав місця на пізнання і мислення, на діяльність, що виникає з вільної волі. Беручи до уваги відповідні рівняння та існуючі на світі умови, згідно з класичною фізикою все можна в принципі вирахувати, а отже заздалегідь визначити. Все, що робиться нині, є безпосереднім наслідком того, що відбулося вчора, позавчора і ще давніше, аж до Великого вибуху. Нічого сутнісно нового, чого не можна передбачити, статися не може. В детерміністичному Всесвіті, в якому одна річ неминуче веде до наступної, концепція вільної волі є нічим іншим, як лиш обманом.
А без вільної волі надійність наукових істин стане ілюзорною. Ми потребуємо вільної волі, щоб вирішити, які аргументи вважаємо переконливими, а які відкидаємо. Цей вибір є суттю науки. Тим більше на іронію скидається факт, що ньютонівське прагнення до наукової істини вбило вільну волю. "Чи ми дійсно були запрограмовані так, щоби здійснювати вибір, який відповідає наперед встановленому неминучому майбутньому?" – питає Ґізін. І відразу застерігає: я в це не вірю!
Тому пропонує, щоби для опису світу використовувати числа, які мають "зашиту" в собі певну випадковість, невизначеність (хоч би і була вона прихована за мільйонним, а то і мільярдним знаком після коми).
"Це означатиме, що поведінку Всесвіту – і всього в ньому – не можна наперед визначити. Це залишило би місце на креативність", – тішиться Ґізін. І на вільну волю.
Irena Cieślińska
Liczb rzeczywistych nie ma, za to mamy wolną wolę
Gazeta Wyborcza, 12.06.2018
Переклад О.Д,
21.06.2018