Останні цифри простих чисел повторюються рідше, ніж це мало б випливати з випадкового розподілу.
Останні цифри ряду простих чисел виявляють дивну нехіть до повторення
Двоє математиків простежили цікаву закономірність всередині розподілу простих чисел. Виявляється, вони розподілені не настільки випадково, як заведено вважати.
«Кожен експерт, який дізнався про результат нашого дослідження, пише власний комп'ютерний алгоритм, щоб власноруч його перевірити», — каже Канан Саундаражан, математик зі Стенфордського університету, який встановив цю закономірність разом зі своїм колеґою Робертом Лемке Олівером. Саундаражан та Олівер повідомляють про неї в статті, яку 11 березня завантажили на сервер препринтів arXiv.
Отже, серед простих чисел існує тенденція, яка полягає в тому, що вони воліють уникати повторення останніх цифр. Тобто існує набагато менша ймовірність того, що після числа, яке закінчується на 1, йтиме число, що також закінчується на 1, ніж це мало б випливати з випадкового розподілу. Для математиків це відкриття водночас дивне і захопливе.
Простим називають число, яке ділиться лише на себе та на одиницю. Прості числа важливі тим, що, згідно з основною теоремою арифметики, будь-яке натуральне число більше одиниці можна подати як добуток простих чисел. Отже, ці числа постають як певні математичні атоми чи «будівничі блоки». Якоїсь закономірності в розподілі простих чисел не виявили досі. Окрім очевидного — що прості числа не можуть бути парними (крім 2) та закінчуватися на 5, — виглядає на те, що існує дуже мало математичних постулатів, які можуть вказати, де появиться наступне просте число в ряді натуральних (існує, щоправда, так звана теорема простих чисел, яка визначає, наскільки рідше вони з'являються в міру зростання).
Як наслідок, математики трактують розподіл простих чисел як «псевдовипадкову послідовність». Так, ніби їх створив «ґенератор випадкових чисел». Але якби ця послідовність справді була випадковою, то після простого числа, яке закінчується на 1, йшло б наступне просте число, що також закінчується на 1, у чверті випадків. Адже є лише чотири цифри, на які може закінчуватись просте число: 1, 3, 7 і 9. Натомість Олівер та Саундаражан побачили, що в першому мільярді простих чисел кінцева цифра 1 супроводжується 1 лише у 18% випадків, а не у 25%. Тимчасом як 3 і 7 йдуть після одиниці у 30% випадків, а 9 — у 22%. Аналогічний розподіл виникає і для кінцевих цифр 3, 7 і 9. Це однозначно свідчить, що останні цифри чомусь «не хочуть» повторюватись.
Олівер та Саундаражан, крім того, довели, що виявлена ними закономірність діє для усіх без винятку простих чисел, якщо істинною є вельми поширена, але ще не підтверджена гіпотеза, названа гіпотезою Гарді-Літлвуда. Ця гіпотеза описує розподіл простих чисел у вигляді кластерів — двійок, трійок та більших груп. Її основна ідея полягає в тому, що існують конфіґурації простих чисел, які не можуть повторюватися, і це робить кластерний розподіл ймовірнішим, ніж випадковий. Наприклад, сусідні числа не можуть обоє бути простими: одне з них обов'язково парне. Тому якщо число n просте, то існує трішки більша вірогідність того, що число n + 2 теж буде простим, ніж це мало б випливати з випадкового розподілу.
Автори статті відчувають, що треба пройти ще довгий шлях, перш ніж статистичні закономірності розподілу простих чисел вдасться зрозуміти на глибшому рівні.
Evelyn Lamb
Peculiar pattern found in ‘random’ prime numbers
Nature, 14/03/2016
Зреферував Євген Ланюк
21.03.2016