Норвезька академія наук вирішила нагородити Абелівською премією 2016 року сера Ендрю Джона Вайлса (Оксфордський університет)
"за його приголомшливе доведення Великої теореми Ферма шляхом застосування теорії модулярності для напівстабільних еліптичних кривих, що відкриває нову еру в теорії чисел".
Теорія чисел — стара і красива галузь математики — вивчає арифметичні властивості чисел. У своєму сучасному вигляді вона тісно пов'язана з комплексним аналізом, алгебраїчною геометрією і теорією представлень. Чисельні теоретичні результати грають важливу роль в нашому повсякденному житті через застосування алгоритмів кодування в сферах комунікації, фінансових операцій та цифрової безпеки.
Велика Теорема Ферма, вперше сформульована П'єром де Ферма в 17-му столітті, стверджує, що рівняння xⁿ + yⁿ = zⁿ не має розв'язків для цілих позитивних числах при n > 2. Ферма довів це твердження для n = 4, Леонард Ейлер знайшов доведення для n = 3, а Софі Жермен отримала перший загальний результат, який можна застосовувати до нескінченної множини простих степенів. Дослідження Куммера з цього питання призвели до появи декількох основних понять в теорії алгебраїчних чисел, таких як ідеальні числа і тонкі єдиноможливі факторизації. Повне доведення, знайдене Ендрю Вайлсом засноване на трьох наступних концепціях в теорії чисел, а саме на еліптичних кривих, модулярних формах і представленнях Ґалуа. Еліптичні криві визначаються кубічними рівняннями з двома змінними. Вони служать природними областями визначення еліптичних функцій, введеними Нільсом Генріком Абелем. Модулярні форми є високо симетричні аналітичні функції, визначені на верхній комплексній півплощині і природно пов'язані з геометричними об'єктами, відомими як модулярні криві. Еліптична крива називається модулярною, якщо вона може бути параметризована перетворенням однієї з цих модулярних кривих. Гіпотеза модулярності, запропонована Горо Сімура, Ютака Таніяму і Андре Вейлем в 50-х і 60-х роках, стверджує, що кожна еліптична крива, визначена над полем раціональних чисел, є модулярною.
У 1984 році Герхард Фрей поєднав напівстабільну еліптичну криву з довільним гіпотетичним контрприкладом до Великої теореми Ферма, і висловив сильне припущення, що ця еліптична крива не може бути модулярною. У 1986 році немодулярність Фрея була доведена Кеннетом Рібе за допомогою епсилон-гіпотези Жан-П'єра Серра. Звідси випливало, що доведення гіпотези модулярності Сімура-Таніями-Вейля для напівстабільних еліптичних кривих привело би і до доведення Великої теореми Ферма. Однак, в той час гіпотеза модулярності вважалася абсолютно неприступною. Саме тому приголомшливим проривом стала опублікована в 1995 році видатна стаття Ендрю Вайлса, де він запропонував метод ліфтінґу (підіймання) модулярності і довів напівстабільний випадок гіпотези модулярності.
Метод ліфтінґу модулярності Вайлса пов'язаний з симетріями Ґалуа точок скінченного порядку в абелевій групі еліптичної кривої. Базуючись на теорії деформації Баррі Мазура для таких представлень Ґалуа, Вайлс визначив чисельний критерій, який гарантує, що модулярність для точок порядку p можна підняти до модулярності для точок порядку довільного степеню p, де p — непарне просте число. Цього достатньо для доведення того, що еліптична крива є модулярною. Чисельний критерій був доведений в напівстабільному випадку в іншій важливій роботі, написаній спільно з Річардом Тейлором. Теореми Роберта Ленґлендса і Джеролда Таннелла показують, що в багатьох випадках представлення Ґалуа, задане точками третього порядку, є модулярним. Завдяки дотепному переходу від одного простого числа до іншого, Вайлс показав, що і в інших випадках представлення Ґалуа, задане точками п'ятого порядку, є модулярним. Це дозволило йому завершити своє доведення теорії модулярності і, як наслідок, Великої теореми Ферма.
Новаторські ідеї Уайлса мали вирішальне значення для багатьох подальших досягнень, включаючи доведення загального випадку теореми модулярності, виконаним Крістофом Брейлі, Брайаном Конрадом, Фредом Даймондом та Річардом Тейлором в 2001 році. Зовсім недавно, в 2015 році, Нуну Фрейтас, Бао В. Ле Хунг і Самір Сіксек довели аналогічне твердження про модулярність для реальних квадратичних числових полів. Мало які результати мають таку багату математичну історію і таке драматичне доведення, як Велика теорема Ферма.
Citation by the Abel Committee 2016
Переклад О.Д.
