Японський математик Сінічі Мотідзукі стверджує, що вирішив одну з найбільших проблем сучасної математики. Але ніхто не може це підтвердити чи спростувати.
Його науковий доробок вражає своєю масштабністю. П'ятсот сторінок — обсяг тексту, яким може похвалитись не кожен гуманітарій, не кажучи вже про математика. Але не тільки кількість має значення. Його праця має шанси стати математичною бомбою й започаткувати абсолютно нову математику — «математику з далекого майбутнього», як висловився один його колеґа. Ексцентричний японський математик Сінічі Мотідзукі стверджує, що довів гіпотезу abc — одну з найбільших проблем теорії чисел. А щоб зробити це, йому довелось перевернути самі основи математики, починаючи з арифметичних дій і теорії множин, які вивчають в початкових класах середньої школи. Проблема лише в тому, що все це так складно, що у світі майже немає людей, які можуть це зрозуміти.
Мотідзукі — відомий і поважний математик з Дослідницького інституту математичних наук (RIMS) при Кіотському університеті — не прагнув зробити сенсацію. Він навіть не постарався оголосити чотири свої статті з доведенням рецензентам, а лише завантажив їх у серпні 2012 р. на свій персональний веб-сайт й чекав, поки світ зреагує.
А реакція не забарилася. Першою людиною, яка їх зауважила, став його колеґа-математик з RIMS Акіо Тамаґава. Тамаґава знав, що Мотідзукі працює над доведенням гіпотези abc і близький до закінчення. Він одразу написав математику Івану Фесенку з Ноттінгемського університету (Сполучене Королівство). Фесенко завантажив статті і пристрасно почав їх читати. Але його ентузіазм досить швидко згас: він, всесвітньо відомий спеціаліст з теорії чисел, нічого в них не міг второпати.
Фесенко написав кільком топ-експертам в галузі теорії чисел й арифметичної геометрії, і новина про розв'язок почала швидко ширитися в математичних колах. Через кілька днів у спеціалізованих блоґах і на онлайн-форумах вже йшло його жваве обговорення. Піднесення, яке спершу запанувало, невдовзі перетворилося на скепсис. Ніхто, навіть експерти, чия сфера досліджень лежала щонайближче до ділянки Мотідзукі, не могли зрозуміти його статті. Адже щоб довести гіпотезу abc, він винайшов новий напрямок теорії чисел, який неймовірно абстрактний навіть за стандартами чистої математики. «Коли ви це читаєте, у вас виникає відчуття, що перед вами текст з далекого майбутнього або з іншого Всесвіту», — прокоментував свої враження математик з Університету Вісконсина-Медісона Джордан Елленберґ. За оцінкою автора, випускнику топ-математичного вишу потрібно не менше десяти років, щоб зрозуміти його роботу, а, на думку Івана Фесенка, найкращим спеціалістам з аналітичної геометрії та теорії чисел, яких у світі усього кілька десятків, потрібно не менше 500 годин, щоб збагнути суть його думок.
Сам автор каже, що його теорія становить «різновид мініатюрної моделі того, чим є математика в людському суспільстві». Складність, з якою його сприймають його колеґи, — це копія тієї складності, з якою решта членів суспільства сприймають математиків. Іншими словами, це «математика для математиків», або математика в квадраті.
Напрочуд загадковою є й сама постать Мотідзукі. Він читає лекції тільки в Японії (хоча вільно володіє англійською), ніколи не покидає рідного міста й відкидає усі запрошення виступити десь-інде. Не спілкується з журналістами, а прохання про інтерв'ю залишає без відповіді. Крім того, він особисто не надсилає свої статті й матеріали в журнали, а просто публікує їх на своєму персональному сайті.
Така поведінка Сінічі Мотідзукі, очевидно, подобається не всім. За висловом одного математика, «він просто показує всім середній палець».
Три роки його доведення перебували в підвішеному стані — його не могли ні прийняти, ні відкинути. Врешті терпець урвався, і тепер математики намагаються поставити крапку в цій історії. У грудні минулого року в Оксфордському університеті відбулася перша панель, організована Математичним інститутом Клея, яка мала на меті встановити істину. На ній були присутні Елленберґ, Фесенко, Тамаґава та інші математики. Мотідзукі особисто не з'явився, але виступив через скайп. Остаточно до консенсусу дійти не вдалося. Вчені погодили між собою хіба загальні моменти окремих його думок. Наступна панень відбудеться у липні в Кіото. Сподіваються, що Мотідзукі буде там присутній безпосередньо і, можливо, внесе більше ясності в свою роботу, а також, що більше математиків докладують зусиль, щоб збагнути його систему.
Гіпотеза abc належить до молодих проблем теорії чисел. Її сформулювали незалежно один від одного математики Девід Массер і Джозеф Остерле у 1985 і 1987 рр., тому її також називають гіпотезом Массера-Остерле. Її суть досить проста. Для будь-якого дійсного числа r > 1 існує не більше трьох натуральних чисел a, b і с, для яких виконується умова a + b = c, якщо a, b і с взаємно прості, тобто у них немає спільних дільників, а с — їх радикал.
Через кілька років американський математик Ноам Елкінз з Гарвардського університету зрозумів важливість цієї гіпотези. Якщо вона правильна, то це матиме колосальний вплив на галузь математики, яка досліджує рівняння з цілими числами, або діофантові рівняння (від імені давньогрецького математика Діофанта, який першим їх досліджував). Елкінз встановив, що доведення гіпотези abc дозволить розв'язати величезну кількість діофантових рівнянь, адже поставить чіткі межі на кількість їх розв'язків. Наприклад, з неї має випливати, що розв'язок конкретного рівняння має бути не більшим, ніж 100. Отже, належить перебрати усі числа від 0 до 99. Без неї, своєю чергою, була б нескінченна кількість розв'язків.
Елкінз показав, що доведення гіпотези abc може стати найвагомішим проривом в історії діофантових рівнянь і прийти на зміну формулюванню Луїса Морделла, який у 1922 р. постулював, що більшість цих рівнянь має нескінченну кількість розв'язків або не має їх взагалі. Цю гіпотезу в 1983 р. довів математик Ґерд Фалтінґс, якому на той час було лише 28 років. Через три роки ця праця принесла йому золоту медаль Філдса — математичний аналог Нобеля. Але якщо гіпотеза abc правильна, то, цитуючи Фалтінґса, «ви не просто знаєте, скільки є розв'язків, а можете перелічити їх усі».
Невдовзі після того, як Фалтінґс довів гіпотезу Морделя, він почав викладати в Прінстонському університеті. Саме там його шляхи перетнулися з Мотідзукі.
Сінічі Мотідзукі народився 1969 р. в Токіо, але згодом родина переїхала до США. Він відвідував середню школу в Нью-Гемпширі. Завдяки ранньому математичному таланту шістнадцятирічним юнаком вступив до Прінстонського університету. За своє ориґінальне мислення там він став живою леґендою, у 22 роки здобув докторський ступінь. Знайомі Мотідзукі дивуються з його надлюдської здатності до концентрації. Його університетський колеґа Кім Міньйон згадує, що він, наче робот, «прокидався вранці й одразу брався до роботи». Після семінару чи колоквіуму викладачі зі студентами часто йшли на гальбу пива, але тільки не Мотідзукі, який одразу спішив в бібліотеку.
Ґерд Фалтінґс консультував Мотідзукі щодо його дипломної роботи. «Він був одним з найблискучіших студентів», — згадує він. А бути студентом Фалтінґса нелегко. Перфекціоніст за натурою, він жорстко критикував за найменшу помилку, і навіть відомі математики часто не могли з ним розмовляти, не ковтаючи нервово слину.
Здобувши докторський ступінь, Сінічі Мотідзукі два роки пробув у Гарварді, а 1994 р. повернувся до Японії, де почав працювати в RIMS. Хоч він багато років прожив в Америці, проте, зі слів Кіма Міньйона, йому там було некомфортно, адже його не влаштовувала західна культура. Крім того, як багато математично обдарованих підлітків, він почувався самотнім.
Зате у RIMS його талант розкрився сповна. Йому не доводилось викладати недипломованим студентам і протягом двадцяти років ніщо не відволікало його увагу. В 1996 р. його репутація пішла стрімко вгору, коли він розв'язав одну з гіпотез уславленого математика ХХ століття Александра Гротендіка — піонера алгебраїчної геометрії, який перетворив її на дуже абстрактну дисципліну. У 1998 р. йому випала честь прочитати вступну лекцію на відкритті Міжнародного математичного конґресу в Берліні, що можна порівняти з введенням у математичний зал слави.
Утім, здобуваючи славу й авторитет, Мотідзукі дедалі більше віддалявся від решти математиків. Його праці ставали дедалі абстрактнішими і складнішими для розуміння. На початку 2000-х він перестав відвідувати міжнародні конференції й виїджджати за межі префектури Кіото. «Треба бути неймовірно відданим своїй справі, щоб стільки часу працювати самітником, без співавторів», — каже теоретик чисел Браян Конрад зі Стенфордського університету в Каліфорнії.
При тому він не переривав контактів з іншими математиками, які знали, що він працює над доведенням гіпотези abc. Конкурентів у цій справі в нього не було: ніхто більше не хотів за неї братися, вважаючи цю задачу не до підняття. На початку 2012 р. почали ходити чутки, що він наблизився до розв'язку. А тоді прийшла серпнева новина: він опублікував чотири статті онлайн.
Через місяць математик Іван Фесенко став першою людиною за межами Японії, яка поспілкувалась з Сінічі Мотідзукі про роботу, яку він тихцем розкрив. За його словами, він застеріг Мотідзукі, аби той пам'ятав про долю іншого математика — російського тополога Григорія Перельмана, який здобув світову славу у 2003 р., коли розв'язав гіпотезу Пуанкаре, а згодом взагалі перестав з ким-небудь спілкуватися й живе самітником.
Здебільшого, коли хтось повідомляє про розв'язок математичної проблеми, який зазвичай має кілька сторінок завдовжки, математики швидко орінтуються в загальній стратегії й виносять свій вердикт. Інколи буває, що їм потрібно більше часу, іноді навіть роки, щоб «переварити» розв'язок. Тільки коли влягається вся пилюка, доведення публікують в журналі. Навіть у випадку з дуже складними й абстрактними працями Гротендіка спеціалісти могли звести його нові ідей до того, що вони вже знали. Але усі, хто читав доведення Мотідзукі, залишились з відкритим ротом. Декого збила з пантелику його розлога, майже месіанська мова, якою він описував свої теоретичні інструкції. Сферу, яку він створив, він назвав «міжуніверсальною геометрією». «Математики переважно дуже скромно описують свої розробки й ніколи не стверджують, що зробили революцію у Всесвіті», — каже Джозеф Остерле з Паризького університету ім. П'єра та Марії Кюрі, один з авторів гіпотези abc, який одним з перших прочитав cтатті Мотідзукі.
Праця Мотідзукі дуже віддалена від стандартної математичної теорії. Відштовхуючись від арифметичної теорії Тейхмюллера, геометрії Аракелова і топології Годжа, він поставив собі за мету реформувати математику знизу догори, починаючи з її найважливіших основ у теорії множин і діаграм Венна, які є аксіомами навіть для школярів. Іван Фесенко, який є одним з чотирьох математиків (інші двоє — колеґи Мотідзукі з RIMS, ще один — з британського Ексетерського університету), котрі заявили, що зрозуміли його праці, пояснює, що суть його всеосяжної системи міжуніверсальної геометрії в тому, що цілі числа належить розглядати у зовсім новому світі, відкидаючи додавання й розглядаючи множення як щось плинне і нестале. Звичні для нас арифметичні дії є тільки одним випадком з цілої низки структур, подібно до того, як коло є спеціальним видом еліпса. Як передає Фесенко, Мотідзукі порівнює себе з математичним гігантом Гротендіком, що не звучить нескромно. «У нас були математики перед ним і тепер будуть після нього», — зазначає Фесенко.
Проблема полягає в тому, що ті кілька математиків, які зрозуміли праці Мотідзукі, своєю чергою, втрачають здатність пояснити це іншим. Фесенко порівняв це з епізодом комічної програми «Монті Пейтон», персонаж якої придумав найсмішніший у світі жарт, й кожен, хто його читає, помирає від сміху і не може розказати його далі.
«Не досить просто мати гарну ідею — треба ще й вміти пояснити її іншим. Люди мають право бути ексцентричними. Якщо він не хоче подорожувати, його ніхто не примушує. Але якщо він хоче бути визнаним, то мусить піти на компроміс», — каже Ґерд Фалтінґс.
Нині надто рано стверджувати, чи праці Сінічі Мотідзукі рухатимуться у бік сприйняття, як це було у випадку Г. Перельмана, чи, можливо, їх спіткає інша доля і світ їх відкине. Прикладом другої перспективи є математик Луї де Бранж з Університету Пердью в Індіані. У 2004 р. він опублікував варіант розв'язку гіпотези Рімана, яку вважають найбільшою проблемою математики. Однак його розв'язок не прийняли, оскільки він був надто складним й спирався на твердження, які не є загально визнані. Можливо, паралель тут не зовсім вдала. Навіть якщо доведення гіпотези abc виявиться хибним, ідеї Мотідзукі з часом просочуватимуться всередині математичної спільноти. «Базуючись на тому, що я про нього знаю, ймовірність того, що в його працях є революційні і вельми важливі ідеї, є дуже високою», — каже Джордан Елленберґ.
Davide Castelvecchi
The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof
Nature, 7/10/2015
Biggest mystery in mathematics in limbo after cryptic meeting (про результати панелі в Оксфорді 7–11 грудня 2014 р.)
Nature, 16/12/2015
Зреферував Євген Ланюк
27.01.2016