Про математику. Від основ до незбагненного.
На даному етапі цієї серії час вийти на інший рівень, перейшовши від арифметики початкової школи до математики старших класів.
Протягом кількох наступних тижнів ми повторюватимемо алгебру, геометрію і тригонометрію. Не хвилюйтеся, якщо ви усе це забули: цього разу не буде жодних тестів, тож замість того, щоб непокоїтись через деталі, ми з насолодою зосередимося на найпрекрасніших, найважливіших ідеях, які мають широке застосування.
Наприклад, алгебра колись могла зробити на вас враження запаморочливої мішанини символів, означень і операцій, та врешті-решт всі вони зводяться до лише двох видів діяльності — розв'язування рівнянь відносно х і роботи з формулами.
Розв'язування рівнянь відносно х є детективною роботою. Ви розшукуєте невідоме число, х. У вас є деяка інформація про нього: чи то у формі рівняння на зразок 2x + 3 = 7, чи то — що менш зручно — його складний словесний опис (ота страхітлива «проблема тотожності слів»). У кожному разі ваше завдання — ідентифікувати х, виходячи з наявної інформації.
Що ж до роботи з формулами, то вона ледь схожа на мистецтво і науку. Замість того, щоб зосереджувати свою увагу на окремому х, ви працюєте з відношеннями, які залишаються істинними, хоча числа в них змінюються. Ці числа, що міняються, називаються змінними величинами, і саме вони по-справжньому відрізняють алгебру від арифметики.
Формули, які ми розглядаємо, можуть відображати елеґантні закономірності, що стосуються власної природи чисел. Саме тут алгебра перетинається з мистецтвом. Або вони можуть відображати відношення між числами в реальному світі, як вони це роблять в законах природи для падучих предметів чи планетних орбіт, або генетичних частот в популяції. Саме тут алгебра перетинається з наукою.
Цей поділ алгебри на дві великі форми діяльності не є загальновживаним (насправді я щойно його придумав), але, здається, він цілком добре працює. В колонці наступного тижня я більше розповім про розв'язання рівнянь відносно х, а зараз зосередьмося на формулах, почавши з простих прикладів, щоб роз'яснити ідеї.
Якось минулого року моя донька Джо усвідомила дещо про свою старшу сестру Лею. «Татку, між моїм віком і Леїним завжди є якесь число. Мені зараз 6 років, їй 8, а посередині є 7. Навіть коли ми станемо старими, наприклад, мені буде 20, а їй 22, посередині і далі буде якесь число!»
Спостереження Джо має стосунок до алгебри (хоча лише люблячий батько подивиться на нього в такий спосіб), тому що вона зауважила відношення між двома постійно змінними величинами: її віком х і віком Леї у. Незалежно від того, якого віку вони досягнуть, Лея завжди буде на два роки старшою: y = x + 2.
Алгебра є мовою, в якій такі закономірності виражені найбільш природно. Для вільного володіння алгеброю потрібна деяка практика, тому що вона перевантажена тим, що французи називають «faux amis» — фальшивими друзями, які звучать як треба в одній мові (у цьому випадку англійській), але означають щось цілком відмінне, коли їх перекладають на іншу (в даному випадку, алгебраїчними символами).
Наприклад, припустимо, що довжина коридору становить y, якщо ми вимірюємо її в ярдах, і f, якщо ми вимірюємо її у футах. Напишіть рівняння, яке пов’язує y з f.
Мій приятель Ґрент Віґґінз, консультант з освіти, не один рік ставить цю проблему перед студентами і викладачами. Як засвідчує його досвід, у більш ніж половині випадків студенти розуміють її неправильно, навіть якщо нещодавно вони прослухали курс алгебри і дістали залік.
Якщо ви думаєте, що відповіддю є y = 3f, то запрошуємо до їхнього клубу.
Це схоже на такий самий невигадливий переклад речення: «Один ярд дорівнює трьом футам». Та щойно ви підставите у нього кілька чисел, то побачите, що ця формула перевертає все з ніг на голову. Скажімо, довжина коридору 10 ярдів; усім відомо, що це 30 футів. Утім, коли ви підставляєте y = 10 і f = 30, формула не працює!
Правильною є формула f = 3y. Тут 3 справді означає 3 фути/ярд. Коли ви множите його на y в ярдах, одиниці вимірювання ярдів скорочуються і у вас залишаються лише одиниці вимірювання футів, як і має бути.
Перевірка того, що одиниці вимірювання скорочуються як треба, допомагає уникнути таких грубих помилок. Наприклад, вона би встерегла сервіс Verizon (про який мовилась мова в колонці минулого тижня) від сплутування доларів і центів.
Інший тип формул відомий як «тотожність». Коли ви ділили чи множили многочлени на занятті з алгебри, ви працювали з тотожностями. Ви можете використовувати їх тепер, щоб вразити своїх друзів дешевими фокусами з числами. Ось один, який зробив враження на фізика Річарда Фейнмана, який і сам був не в тім'я битий в усних обчисленнях:
«Перебуваючи в Лос-Аламос, я виявив, що Ганс Бете є асом в обчисленнях. Наприклад, одного разу ми підставляли певні числа у формулу і отримали 48 в квадраті. Я простяг руку за калькулятором Маршана, а він сказав: "Це буде 2300". Я став тиснути кнопки, а він сказав: "Якщо ти хочеш точно, то це 2304".
Машина показала 2304. "Оце так! Просто неймовірно!", — сказав я.
"Хіба ти не знаєш, як підносити до квадрату числа, близькі до 50? — запитав він. — Підносиш до квадрату 50 — це буде 2500 — і 100 разів віднімаєш різницю між 50 і твоїм числом (у нашому випадку це 2), тож дістаєш 2300. Якщо тобі потрібне точне число, піднеси до квадрату різницю і додай її. Так і вийде 2304"».
Трюк Бете базується на тотожності
(50 + x)² = 2500 + 100x + x².
Він пам'ятав це рівняння і застосував його для випадку, коли х є -2, що відповідає числу 48 = 50 – 2.
Для інтуїтивного обґрунтування цієї формули уявіть квадратний клапоть килима, кожна сторона якого має довжину 50 + х.
Тож його площа становить (50 + x) в квадраті, а це саме те, що ми шукали. Але рисунок вгорі показує, що ця область складається з квадрату 50 на 50 (це привносить 2500 у формулу), двох прямокутників розміром 50 на х (кожен з яких привносить у площу 50x, разом — 100x) і нарешті маленького квадрата розміром х на х, який додає до площі х в квадраті, останній член у формулі Бете.
Подібні до цього відношення призначені не лише для фізиків-теоретиків. Тотожності, подібні на тотожність Бете, є значущими для кожного, хто вклав гроші у фондову біржу. Припустімо, ваш портфель цінних паперів катастрофічно падає на 50% за один рік, а наступного року збільшується на 50%. Навіть після такого вражаючого відновлення ви все ще втрачатимете 25%, тому що 0,5 помножити на 1,5 дорівнює 0,75.
Насправді ви ніколи не повернетеся до того, що мали, коли втрачаєте і заробляєте той самий відсоток у два послідовні роки. Алгебра допоможе вам зрозуміти, чому. Це випливає з тотожності
(1 – x)(1 + x) = 1 – x².
В роки падіння портфель цінних паперів зменшується на множник 1 – x (в наведеному прикладі x = 0,5), а потім наступного року збільшується на множник 1 + x. Тож зміна ціни акцій залежить від
(1 – x)(1 + x)
і відповідно до вище наведеної формули це дорівнює
1 – x².
Суть в тому, що цей вираз завжди є менший, ніж 1, для будь-якого х, відмінного від 0. Отже, ви ніколи не повернетеся до того, що мали.
Треба сказати, що не кожне відношення між змінними величинами є таким самим очевидним, як наведені вище. Проте чари алгебри звабливі, і в руках легковіра вони породжують такі дурниці, як формула для суспільно прийнятної вікової різниці в любовних стосунках. Згідно з деякими інтернет-сайтами, якщо ваш вік є х, то порядне товариство поставиться до вас несхвально, якщо ви зустрічаєтеся з кимось, молодшим ніж (x/2) + 7.
Іншими словами, для когось 82-річного було б ненормально заглядатися на мою 48-річну дружину, навіть якби вона була вільною. Але для 81-річного? Без проблем.
Фу. Фу. Фу…
Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовська