Про математику. Від основ до незбагненного.
Є в мене товариш, який дістає величезне задоволення від науки, хоча сам є митцем. Хоч би коли ми зустрілись, єдине, чого йому хочеться, — поговорити про останні досягнення в області еволюції чи квантової механіки. Але коли справа доходить до математики, він чується без жодних орієнтирів, і це його згірчує. Її дивні символи йому незрозумілі. Він каже, що навіть не знає, як їх вимовляти.
Насправді причина його відчуження лежить набагато глибше. Він не уявляє, що математики роблять цілими днями або що мають на увазі, коли кажуть, що доведення є елеґантним. Часом ми жартуємо, що я маю просто всадовити його і навчити всього, починаючи з 1 + 1 = 2 — і далі так далеко, наскільки зможемо.
Хоч би як шалено це звучало, але протягом наступних кількох подач я, власне, щось такого спробую. Я напишу про елементи математики для кожного — починаючи з дошкілля і закінчуючи аспірантурою — читача, який хотів би дістати другий шанс у вивченні цього предмета, але цього разу з дорослої перспективи. Метою не є щось виправляти. Метою є дати вам краще відчути те, чим насправді є математика і чому вона така захоплива для тих, хто її розуміє.
Отже, почнемо з дошкілля.
Найкраще знайомство з числами, яке я будь-коли бачив, найяскравіше і найвеселіше пояснення, що таке числа і чому вони нам потрібні, — це мультфільм Sesame Street, фраґмент «1-2-3 — лічи зі мною». Гамфрі, милий, але тугий на голову фацет з рожевим хутром і зеленим носом, працює на роздачі при ляді в готелі The Furry Arms, де приймає виклик із заповненої пінґвінами кімнати. Гамфрі уважно слухає, а потім вигукує їхнє замовлення на кухню: «Риба, риба, риба, риба, риба, риба!». Це спонукає Ерні просвітити його щодо переваг числа шість.
На цьому прикладі діти дізнаються, що числа є чудовим спрощенням. Замість того, щоб сказати слово «риба» рівно стільки разів, скільки є пінґвінів, Гамфрі міг би використовувати більш потужну концепцію «шість».
Проте ми як дорослі можемо помітити потенційний недолік цифр. Звичайно, вони чудово заощаджують час, але ціною серйозного абстрагування. Шість є більш ефемерним, ніж шість риб — власне тому, що воно є більш загальним. Це стосується до будь-чого по шість: шість тарілок, шість пінґвінів, шість разів промовлене слово «риба». Це невимовна річ, яка є спільною для них всіх.
Якщо так дивитись на них, то цифри починають видаватися трошки незбагненними. Очевидно, вони існують в якійсь Платоновій сфері, рівень якої вище нашої реальності. З цього погляду вони більше нагадують інші високі поняття (наприклад, правду і справедливість), і меншою мірою — звичайні речі повсякденного життя. Після подальших роздумів на цю тему, філософський статус цифр стає ще більше невизначеним. Власне, звідки беруться цифри? Чи людство винайшло їх? Або відкрило їх?
Ще одна тонкість полягає в тому, що числа (і всі математичні ідеї щодо цього) живуть своїм власним життям. Ми не можемо їх контролювати. І хоч вони існують лише в нашій свідомості, але тільки-но ми вирішили, що ми маємо на увазі під ними, як більше не впливаємо на їх поведінку. Вони підпорядковуються певним законам і мають певні властивості, характеристики і способи поєднання одне з одним, і ми не можемо нічого з тим вдіяти, хіба що спостерігати і намагатись зрозуміти. У цьому сенсі вони є похмурою ремінісценцією атомів і зірок, тих речей цього світу, які також підпадають під дію законів, що є поза нашим контролем... за винятком того, що ці речі існують поза нашими головами.
Цей подвійний аспект чисел — частково небесне і частково земне — є, можливо, найпарадоксальнішою їхньою рисою, яка робить їх такими корисними. Це те, що фізик Юджин Віґнер мав на увазі, коли писав про «нерезонну ефективність математики в природничих науках».
Якщо не ясно, що я розумію під життям чисел та їхньою неконтрольованою поведінкою, то повернімося до The Furry Arms. Припустимо, що раптом Гамфрі отримує дзвінок по іншій лінії, з кімнати, зайнятої такою самою кількістю пінґвінів, як і попередня, вони також вимагають риби. Що Гамфрі має кричати на кухню, прийнявши обидві заявки? Якщо він нічого не навчився, він міг кричати «рибу» один раз для кожного пінґвіна. Або, використовуючи свої числа, він міг би сказати кухареві, що йому потрібно шість замовлень риби для першої кімнаті і ще шість для другої. Але що йому насправді потрібно — це нову концепцію: додавання. Щойно він цим оволодіє, він гордо скаже, що йому потрібно шість плюс шість (або — якщо він захоче похизуватись — 12) риб.
Тут творчий процес такий самий, як і той, який дав нам номери першого разу. Подібно до того, як числа є скороченням підрахунку чогось, додавання є скороченням підрахунку будь-якого підсумку. Саме так зростає математика. Правильна абстракція приводить до нового розуміння і нових можливостей.
Незабаром навіть Гамфрі може зрозуміти, що він може рахувати постійно.
Втім, незважаючи на цю нескінченну перспективу, завжди є обмеження нашої креативності. Ми можемо вирішити, що ми розуміємо під такими речами, як «6» і «+», але тільки-но ми це зробимо, як результати рівнянь типу «6 + 6» вже є поза нашим контролем. Далі ми побачимо, що в математиці наша свобода міститься в питаннях, які ми задаємо, — і в тому, як ми поводимось з ними, — але не у відповідях, що нас чекають.
Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферував Михайло Мишкало