Історія безкінечно малих й народження математики

У 6 ст. до н. е. давньогрецький філософ і математик Гіппас Метапонтійський, який належав до гуртка піфагорейців, разом з іншими його членами відправився у морську подорож. Історія не зберегла, куди і з якою метою плив Гіппас. Відомо лише, що товариші дорогою викинули філософа за борт.

 

 

Мушля в розрізі. В основі її форми лежить т. зв. "золота пропорція", утворена на основі послідовності Фібоначчі (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55), в якій кожен наступний член дорівнює сумі двох попередніх. Така форма дуже часто зустрічається у природі, зокрема у будові людського тіла. Крім того, "золоту пропорцію" людина сприймає як гармонійну і красиву, тому її дуже часто використовували митці та архітектори (зокрема, будівничі піраміди Хеопса чи афінського Парфенону) Це - приклад "збігу" математики та дійсності. 

 

 

Гіппас, мабуть, розгнівив своїх товаришів тим, що поставив під сумнів вчення їхнього вчителя – Піфагора. Піфагор навчав, що усе на світі можна пояснити за допомогою чисел та їх відношень. При цьому великий філософ знав лише цілі числа. Гіппас же довів, що діагональ квадрата неспівмірна з його стороною. Сучасною мовою, корінь з двох, помножений на значення сторони квадрата - такою є формула визначення довжини його діагоналі - є ірраціональним числом, яке неможливо представити як відношення жодних цілих чисел.  

 

Відкриття Гіппаса загнало в глухий кут не лише філософів-піфагорейців, але й на добрих два тисячоліття залишало без відповіді усіх західних математиків. Адже філософ довів, що лінію, площу чи об’єм неможливо представити як сукупність певної – нехай навіть дуже великої – кількості скінченних відрізків чи одиниць. Дискретні числа, отже, ніколи повністю не можуть адекватно відображати світ неперервних сутностей.

 

По-новому глянуло на цю дилему лише покоління математиків 16-17 ст., зокрема Сімон Стевін (1548-1620) у Нідерландах, Томас Геріот (1560-1628) та Джон Валліс (1616-1703) у Англії та, особливо, Бонавентура Кавальєрі (1598-1647) та Еванджеліста Торрічелчі (1606-1648) у Італії, які припустили, що лінія – це послідовність безкінечно малих точок, площина – сукупність безкінечно тонких ліній, а об’єм – безкінечне нагромадження площин.

 

Результати такого, здавалося б, логічно суперечливого твердження виявилися вражаючими. З його допомогою математики навчилися обчислювати довжини, площі та об’єми, які вирахувати було б надзвичайно складно, а то й взагалі неможливо, якщо оперувати тільки цілими та дробовими числами. Остаточно у математичний метод, що називається диференціальним та інтегральним численням, його оформили Ісаак Ньютон та Ґотфрід Лейбніц. Ось уже триста років на ньому ґрунтується уся прикладна математика, застосовуючи для усіх можливих обчислень – від обертання небесних тіл до траекторії польоту гарматного ядра й вібрації струни.

 

Піонери методу обчислення безкінечно малих розуміли, що їхній підхід ґрунтується на логічно суперечливих припущеннях: як можна отримати якусь дискретну величину, сумуючи безкінечно мале? Математиків його філософські основи мало хвилювали: важливими були передусім його практичні наслідки. Однак філософам, особливо Джорджу Берклі та єзуїтським схоластам, він по-справжньому не давав спокою. Противники диференціального та інтегрального числення використали увесь логічний та філософський інструментарій, щоб доказати його абсурдність та логічну неспроможність, і їхні аргументи мали великий вплив на тогочасті уми. Запеклі дебати тривали ще близько 100 років після появи математичного аналізу.  

 

Розв'язати цю суперечку зумів французький математик Оґюстен-Луї Коші (1789-1857). Коші збагнув, що її причиною є завідомо хибне припущення, а саме, що математика повинна відповідати матеріальній дійсності. Однак ще ж Гіппас показав, що це не обов’язково! У праці Cours d’Analyse , яка вийшла у 1821 р., Коші строго визначив фундаментальні поняття математичного аналізу – неперервність, похідну та інтеграл – як границі безкінечних послідовностей, які наближаються до певного сталого значення. Таким чином, він обґрунтував математичний аналіз, не вдаючись до інтуїтивних наглядних прикладів, що лінія складається з безкінечної кількості точок, крива – прямих відрізків, а об’єм – площин.

 

Коші, відтак, поставив крапку у дилемі, що тривала понад два тисячоліття. У 5 ст. до н.е. Гіппас Метапонтійський довів, що математика не завжди адекватно відображає реальність. У 19 ст. Коші доказав, що вона взагалі не потребує зв’язку з реальністю й може жити й процвітати сама по собі. Процес звільнення «мови Бога», як називав математику Галілео Галілей, від пут матеріальної дійсності був довгим і болісним. Лише двісті років тому вона остаточно скинула ці пута й відправилась у самостійне плавання.

06.04.2014

До теми