Коли я побачила математичну статтю, у заголовку якої було “майже просте” число, мені відразу згадався відомий жарт про те, що не можна бути “трішки вагітною”. Але якщо все-таки порівняти вагітність на шостому тижні, коли жінка ще не підозрює, що вона при надії, і 39-му, коли на животі можна балансувати тарілку, то, можливо, у першому випадку вона все-таки “менше вагітна”, ніж в другому. Можливо, якщо подивитися з такого боку, то і поняття “майже простого числа” також має сенс.
 

Число називають простим, якщо воно ділиться лише на 1 і себе самого. Оскільки математики домовилися не вважати таким числом 1, то ці числа починаються з 2, 3, 5, 7, 11 і т. д. Отже, просте число має лише один простий дільник — себе самого. А як щодо числа, яке має два простих дільники? Наприклад, 4 (2 × 2) або 6 (2 × 3)? Зрозуміло, що такі числа є “менше простими”, але вони все-таки ближчі до простих, ніж, наприклад, 8 або 30 (три простих дільники: 2 × 2 ×2 та 2 × 3 × 5). Отже, поняття “майже простого числа” — це спосіб визначити, наскільки число близьке до того, щоб бути справді простим.

Якщо число має два (не обов’язково різні) прості дільники, то його можна назвати “напівпростим” або “двічі майже простим”. Це, наприклад, числа 4, 6, 9, 10, 14, 15. Якщо ж у нього три таких дільники, його можна назвати “тричі майже простим” і т. д. Тобто число, більше ніж 1, може бути “n-майже простим” для деякого n. З погляду наближення до “простоти” (термін, який я щойно придумала), “майже прості” нагадують радше гру в гольф, ніж вагітність: “двічі майже просте” є ближчим до простого, ніж “тричі майже просте”.

Досі може видаватися, що це лише нестандартний спосіб опису чисел з певною кількістю простих дільників. В чому ж тоді сенс майже простих?

У математиків є багато непростих запитань до простих чисел. З одного боку, їхній розподіл здається випадковим, але, з іншого, деякі аспекти їхньої поведінки дуже прогнозовані. Теорема про розподіл простих чисел стверджує, що відстань між ними збільшується, що далі ви рухаєтесь числовою прямою, але недавні дослідження показали, що є безкінечна кількість пар простих чисел, які відрізняються лише на 246 (від остаточного доведення гіпотези простих чисел-”близнюків” очікують, що є безкінечна кількість простих чисел, які відрізняються на 2).

Оскільки через їхню непрогнозовану поведінку самі прості числа вивчати дуже важко, математикам інколи доводиться послаблювати правила. Замість того, щоб ставити питання лише в рамках множини простих, можливо, потрібно трохи привідкрити двері і впустити всередину “майже прості” числа?

Якщо, скажімо, взяти деяку арифметичну прогресію — довільно довгу послідовність, наприклад, таких чисел, як a+6, a+12, a+18 (або будь-якою іншою послідовністю чисел з однаковими проміжками), — то які шанси, що в таких послідовностях випадатимуть прості числа? У 2004 році Бен Ґрін і Теренс Тао довели, що прості числа є в довільно довгих арифметичних прогресіях, причому вони зробили це, саме послабивши правила і шукаючи як прості, так і “майже прості”. Недавно “31-майже прості” числа з’явилися в дослідженні, пов’язаному з пошуком простих “близнюків” та інших їхніх пар.

Навіть якщо поняття “майже простого” числа не є математичним жартом, воно все одне потішне: “Майже прості числа в майже коротких інтервалах”. Але виявляється, що воно дозволяє привідкрити завісу таємниці над однією з найскладніших проблем в теорії чисел.

Evelyn Lamb
What Is an "Almost Prime" Number?
Scientific American, 30.10.2018
Зреферував Є. Л.