Переходьте до границі

Про математику. Від основ до незбагненного.

 

 

В середній школі ми з друзями любили розгадувати класичні ребуси. Що станеться, коли нездоланна сила зіштовхнеться з нерухомим об'єктом? Це просто: обидвоє розлетяться на друзки. Філософія є простою, коли вам тринадцять.

 

Та одна загадка нас непокоїла: якщо ви рухаєтеся в напрямку стіни, щоразу долаючи половину шляху від того, що залишився, чи дійдете ви колись до неї? У цьому було щось дуже прикре, думка про те, що ти наближаєшся щораз ближче, однак так і не можеш досягти мети. (Ймовірно, це метафора для підліткових страхів). Ще однією тривогою була погано замаскована присутність нескінченності. Щоб досягнути стіни, ви мали би зробити нескінченну кількість кроків, і наприкінці вони мали би бути нескінченно малими.

 

Такі питання, як це, завжди спричиняють біль голови. Близько 500 р. до н.е. Зенон з Елеї запропонував низку парадоксів щодо нескінченності, над якими сушили собі голови покоління філософів, і на це частково можна покладати вину за її вигнання з математики на наступні кілька століть. Наприклад, в Евклідовій геометрії єдиними дозволеними конструкціями були ті, які передбачають скінченну кількість кроків. Нескінченність вважалася занадто непоясненною, занадто незрозумілою, її важко було помістити в жорсткі рамки логіки.  

 

Та Архімед, найвидатніший математик античності, усвідомив значення нескінченності. Він використав її, щоб розв'язати проблеми, які інакше були б нерозв'язними, і в процесі цього підійшов близько до створення диференціального та інтеґрального числення — майже за дві тисячі років до Ньютона і Лейбніца.

 

В наступні тижні ми заглибимося у вивчення великих ідей у серцевині диференціального та інтеґрального числення. Та наразі мені б хотілося почати з перших прекрасних натяків на них, видимих в античних обчисленнях стосовно кіл і пі (π).

 

Згадаймо, що ми називаємо пі. Це відношення двох відстаней. Однією з них є діаметр, відрізок, який проходить поперек кола через його центр. Іншою — довжина кола, відстань навкруг кола. Пі є означене як їх відношення: довжина кола поділена на діаметр.

 

 

Якщо ви уважний мислитель, то вас щось відразу може занепокоїти. Звідки ми знаємо, що пі є тим самим числом для всіх кіл? Чи може воно бути різним для великих кіл і малих кіл? Відповіддю є ні, але доведення не є тривіальним. Ось інтуїтивний арґумент.

 

Уявіть, що ви використовуєте фотокопіювальну машину, щоб зменшити зображення кола, скажімо, на 50 %. Тоді всі відстані на малюнку — разом з довжиною кола і діаметром — зменшаться на 50 %. Отож коли ви поділите нову довжину кола на новий діаметр, ця 50-відсоткова зміна скоротиться, залишаючи відношення незмінним. Це відношення і є пі.

 

Звісно, це нічого не каже нам про величину пі. Простих експериментів з тасьмами і тарілками цілком досить для того, щоб отримати значення, близьке до 3, або якщо вам властива більша ретельність, то 3 і 1/7. Та припустімо, що ми хочемо знайти точне значення пі чи бодай апроксимувати його з довільною точністю. Що тоді? Саме ця проблема спантеличувала мислителів античності.

 

Перед тим, як звернутись до блискучого Архімедового розв'язку, ми маємо пригадати ще одну пов'язану з колами ситуацію, де з'являється пі. Площа круга (величина простору всередині кола) визначається формулою

 

А = πr²

 

Тут A позначає площу, π є грецькою літерою пі, а r є радіусом кола, означеним як половина діаметра.

 

 

Кожен з нас заучував напам'ять цю формулу в старших класах, але звідки вона береться? Зазвичай її не доводять на заняттях з геометрії. Якщо ви дійшли до занять з математичного аналізу, то, можливо, там розглядали її доведення, але чи справді треба застосовувати математичний аналіз, щоб отримати щось аж таке просте?

 

Так, треба.

 

Ускладнює проблему те, що кола є круглими. Якби вони складались з прямих ліній, питань би не виникало. Знаходження площ трикутників, квадратів і п'ятикутників є простим. Та викривлені фіґури, як-от кола, — це складно.

 

Ключ до математичного мислення про викривлені фіґури — вважати, що вони складаються з багатьох малих прямолінійних шматочків. Насправді це не так, але це працює… За умови, що ви переходите до границі й уявляєте нескінченну кількість шматочків, кожен з яких нескінченно малий. Це ключова ідея, яка лежить в основі інтеґрального числення.

 

Ось один зі способів її використання для знаходження площі круга. Почнімо з того, що розріжемо область на чотири однакові чверті й переставимо їх у такий спосіб.

 

 

Дивна фестончаста фіґура вгорі має таку саму площу, як і круг, хоча це може виглядати цілком неінформативно, оскільки її площі ми також не знаємо. Але принаймні нам відомі два важливі факти про неї. По-перше, дві дуги знизу мають сумарну довжину πr, це якраз половина довжини вихідного кола (тому що інша половина довжини кола припадає на дві дуги згори). По-друге, прямолінійні сторони шматків мають довжину r, оскільки кожен з них був спочатку радіусом кола.

 

Далі продовжуємо процес, але цього разу з вісьмома шматками, складеними навперемінно, як і раніше.

 

 

Тепер фестончаста фіґура виглядає не так химерно. Дуги згори і знизу на місці, але вони вже не такі опуклі. Ще одним кроком вперед є те, що права та ліва сторони фестончастої фіґури не так нахилені, як перед тим. Попри ці зміни, два вже згадані факти залишаються справедливими: дуги знизу і далі мають  сумарну довжину πr, а кожна сторона має довжину r. І ясна річ, фестончаста фіґура й далі має таку саму площу, яку мала раніше — шукану площу круга, — оскільки вона є результатом перестановки восьми шматків круга.  

 

Коли ми збільшуватимемо кількість шматків, станеться щось дивовижне: фестончаста фіґура наближатиметься до прямокутника. Дуги ставатимуть плоскішими, а сторони — майже вертикальними.

 

 

В границі, коли кількість шматків прямує до нескінченності, фіґура є прямокутником. Так само, як у попередніх випадках, два факти залишаються справедливими, що означає, що цей прямокутник має основу шириною πr і сторону висотою r.

 

 

Але тепер проблема є простою. Площа прямокутника рівна його ширині, помноженій на висоту, тож множення πr на r дає площу прямокутника  πr². А оскільки фіґура, отримана перестановкою, завжди має ту саму площу, що й круг, це є відповіддю і для круга!

 

Що зачаровує в цих обчисленнях, то це спосіб, у який нескінченність стає в пригоді. На кожному скінченному етапі фестончаста фіґура виглядає химерною і малонадійною. Але коли ви переходите до границі — коли нарешті «дістаєтеся до стіни» — вона стає простою і гарною, і все стає зрозумілим. Це і є диференціальне та інтеґральне числення у всій своїй красі.

 

Архімед використав подібну стратегію для апроксимації пі. Він замінив коло многокутником з багатьма прямолінійними сторонами і подвоював далі число сторін, щоб наблизитися до досконалої округленості. Та замість того, щоб задовольнятись апроксимацією з певною точністю, він методично обмежував пі, помістивши коло між «вписаними» і «описаними» многокутниками, як показано нижче для 6-, 12- і 24-сторонніх фіґур.

 

 

Тоді він використав теорему Піфагора для знаходження периметрів цих внутрішніх і зовнішніх многокутників, починаючи з шестикутника, а потім 12-, 24-, 48- й нарешті 98-сторонньої фіґури. Результати для 96-кутника дали йому змогу довести, що

 

3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇

 

В десятковому записі (якого Архімед не мав) це означає, що пі міститься між 3,1408 і 3,1429.

 

Цей підхід відомий як «метод вичерпання», через те що він ув'язнює невідоме число пі між двома відомими числами так, що вони стискують його з обох сторін. Межі стискаються з кожним подвоєнням, у такий спосіб вичерпуючи простір для маневру для пі.

 

В границі, коли кількість сторін прямує до нескінченності, і верхні і нижні межі збігаються до пі. На жаль, ця границя не така проста, як попередня, де фестончаста фіґура трансформувалася в прямокутник. Тож пі залишається таким самим важким для розуміння, як завжди. Ми можемо знайти дедалі більше його знаків після коми — наразі їх кількість перевершує 2,7 трильйона десяткових знаків — але ми ніколи не знатимемо його повністю.

 

Архімед не лише заклав основи інтеґрального та диференціального числення, він ще показав нам можливості апроксимації та ітерації. Він поліпшив добру оцінку до кращої, використовуючи щораз більше прямолінійних шматків, щоб апроксимувати викривлений об'єкт зі зростаючою точністю.

 

Понад два тисячоліття по тому ця стратегія розвинулася в сучасну галузь «чисельний аналіз». Коли інженери використовують комп'ютери, щоб сконструювати машини з найбільш обтічною формою, чи коли біофізики моделюють те, як нові хіміотерапевтичні препарати чіпляються за ракову клітину, вони використовують чисельний аналіз. Математики і програмісти, які були піонерами в цій галузі, створили високоефективні, ітераційні алгоритми, які виконуються мільйони разів за секунду, що дозволяє комп'ютерам розв'язувати проблеми у кожній сфері сучасного життя, від біотехніки до Волл-стріту та Інтернету. Так чи так стратегія полягає у знаходженні ряду наближень, які збігаються в границі до правильної відповіді.

 

І границі, до якої це нас може привести, нема. 

 

 


Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовська

 

14.10.2016