Потужні інструменти

Про математику. Від основ до незбагненного.

Якщо у 1980-х ви були завзятим телевізійним глядачем, то, мабуть, пам’ятаєте талановите шоу “Moonlighting”. Воно відоме своїми дотепними діалогами і романтичними стосунками між його головними героями, парою гострих на язик приватних детективів Медді Хейз і Девід Еддісон, яких зіграли Сібілл Шеперд і Брюс Вілліс. Розслідуючи одну особливо складну справу, Девід просить помічника слідчого висловити найбільш ймовірний здогад про можливого підозрюваного. «Не маю жодного поняття! – говорить асистент. – Але знаєте, чого я не розумію?» На що Девід відповідає: «Логарифмів?» І далі, реагуючи на погляд Медді: «Що? Ти їх розумієш?»

Це чудово підсумовує те, що люди думають про логарифми. Їхня специфічна назва є частиною їхньої іміджевої проблеми. Більшість людей ніколи не використовували їх після закінчення школи, принаймні, не свідомо, і не помічають логарифмів, що сховані за подіями їхнього щоденного життя.

Те саме можна сказати і про інші функції, які про які йдеться у вищій алгебрі і початках аналізу. Степеневі функції, експоненціальні функції – який у цьому всьому сенс? Моя мета цього тижня – допомогти вам розібратися у функції усіх цих функцій, навіть якщо у вас ніколи не було нагоди натиснути їхні кнопки на вашому калькуляторі.

Математику потрібні функції з тієї самої причини, з якої будівельнику потрібні молоток і свердло. Інструменти перетворюють речі. Те саме роблять функції. Власне кажучи, саме через це математики часто називають їх «перетвореннями». Та замість дерева чи сталі, функції працюють з числами і формами, а інколи навіть з іншими функціями.

Аби показати вам, що я маю на увазі, побудуймо криву рівняння

y = 4 - x²

Можливо, ви пам’ятаєте, як це відбувається: ви креслите зображення площини xy, де x є горизонтальною віссю, а y – вертикальною. Тоді для кожного x ви обчислюєте відповідний йому y і наносите їх разом як одну точку на площині xy. Наприклад, коли x є 1, рівняння каже, що y дорівнює 4 мінус 1 в квадраті, тобто 3. Отож (x,y) = (1, 3) є точкою на кривій. Після обчислення і нанесення ще кількох точок, з’являється наступне зображення:

Зігнута форма кривої зумовлена дією математичних кліщів. В рівнянні для y функція, яка перетворює x в x², часто працює як простий інструмент для згинання і розтягування речей. Коли вона застосовується до кожної точки на ділянці осі х (яку ви можете уявити як прямий шматок дроту), кліщі згинають і розтягують цей шматок у спрямовану донизу арку, показану згори.

А яку роль відіграє 4 в рівнянні y = 4 – x²? Воно діє як цвях, на який вішають картину на стіні. Воно піднімає вигин дротяної дуги на чотири одиниці. Оскільки воно піднімає всі точки на ту саму величину, то його називають «постійною функцією».

Цей приклад пояснює двоїсту природу функцій. З одного боку, вони є інструментами: x² згинає шматок осі х, а 4 піднімає її. З іншого боку, вони будують блоки: 4 та x² можна вважати складовими частинами складнішої функції, 4 – x², цілком як дроти, батареї і транзистори є складовими частинами радіо.

Почавши дивитись на речі в такий спосіб, ви помітите функції повсюди. Вигнута дугою крива згори – формально відома як «парабола» – є сигнатурою функції піднесення до квадрату x² , яка діє за сценою. Шукайте її, коли ви робите ковток із фонтанчика для пиття або дивитеся на дугу, що її описує м’яч, який летить у баскетбольне кільце. Якщо колись ви матимете декілька хвилин, аби затриматися в міжнародному аеропорту Детройта, обов’язково зупиніться біля Дельта-терміналу, аби насолодитися найбільш захоплюючими у світі параболами в дії:

Параболи і константи пов’язані з ширшим класом функцій, степеневими функціями у вигляді xⁿ, в яких змінна х піднімається до фіксованої степені n. Для параболи n = 2; для константи n = 0.

Зміна значення n дає нам інші зручні інструменти. Наприклад, піднесення х до першого степеня (n = 1) дає функцію, яка працює, як пандус, постійний нахил догори або вниз. Це називається «лінійною функцією», тому що її ху графіком є пряма. Якщо ви залишите відро на дворі під час постійного дощу, рівень зібраної у ньому води буде підніматися лінійно у часі.

Іншим помічним інструментом є обернена квадратична функція 1/x², яка відповідає випадку n = –2. Вона є доброю для опису того, як хвилі і сили слабнуть, поширюючись у трьох вимірах, наприклад, як стишується звук, коли віддаляється від свого джерела.

Такі, як ці, степеневі функції є будівельними блоками, що їх вчені та інженери використовують, аби описати зростання і спад в їхніх найслабших формах.

Та коли вам потрібен математичний динаміт, час розпакувати експоненціальні функції. Вони описують всі види вибухового зростання: від ланцюгової ядерної реакції до розмноження бактерій в чашці Петрі. Найбільш відомий приклад – це функція 10ˣ, в якій 10 піднімається до степеня х. Вважайте, аби не переплутати це з попередніми степеневими функціями. Тут показник (степінь х) є змінною, а основа (число 10) є константою, тоді як для степеневої функції на зразок x² все навпаки. Ця зміна цілком міняє картину. Експоненціальне зростання є нечувано швидким.

Саме тому настільки важко скласти аркуш паперу вдвоє більше, ніж 7 чи 8 разів. Кожне згинання збільшує товщину згортка приблизно удвічі, що призводить до її експоненціального зростання. Тим часом довжина згортка щоразу зменшується наполовину і таким чином спадає експоненціально швидко. Для стандартного аркуша із зошита після 7 згинів згорток стає грубшим, ніж довшим, тож його більше не можна зігнути. Це не питання сили згину; аби аркуш вважався правильно зігнутий n разів, отриманий згорток повинен мати 2ⁿ шарів по прямій, а цього не може бути, якщо згорток грубший, ніж довший.

Це складне завдання вважалося нездійсненним, доки Брітні Ґалліван, на той час учениця школи старших класів, не розв’язала його у 2002 р. Вона почала з того, що вивела формулу

яка розраховує максимальну кількість разів n, в яку можна скласти в одному напрямі папір даної товщини Т і довжини L. Зверніть увагу на загрозливу присутність експоненціальної функції 2ⁿ у двох місцях: один раз, щоб враховувати подвоєння товщини згортка при кожному згині, а інший раз – щоб врахувати зменшення наполовину його довжини.

Використовуючи свою формулу, Брітні дійшла висновку, що їй треба було б використати спеціальний рулон туалетного паперу довжиною приблизно три чверті милі. У січні 2002 р. вона пішла в комерційний центр свого рідного містечка Помона, шат Каліфорнія і розгорнула папір. Через сім годин, і при допомозі своїх батьків, вона побила світовий рекорд, склавши папір наполовину 12 разів!

В теорії експоненціальне зростання мало би піти на користь вашому банківському рахунку. Якщо ваші гроші ростуть при річній процентній ставці r, через рік вони будуть варті (1 + r) помножене на ваш початковий депозит; через два роки - (1 + r) в квадраті; через х років – (1 + r)ˣ помножене на ваш початковий депозит. Таким чином диво нарахування складного проценту, про яке ми часто чуємо, є спричинене експоненціальним зростанням в дії.

Що приводить нас знову до логарифмів. Вони нам потрібні, тому що завжди корисно мати засоби, які можуть скасувати одне одного. Так само, як кожен офісний працівник потребує зшивача і розшивача, кожному математику потрібні експоненціальні функції і логарифми. Вони є «обернені». Це означає, що якщо ви наберете число х в своєму калькуляторі, тоді натиснете кнопку10ˣ , а потім кнопку log x, ви отримаєте число, з якого почали.

Логарифми є компресорами. Вони є ідеальними для того, щоб, взявши числа, які змінюються в широкому діапазоні, ущільнити їх так, щоб з ними легше було працювати. Наприклад, 100 і 100 мільйонів відрізняються в мільйон разів, це прірва, які більшість з нас вважають нездоланною. Але їхні логарифми відрізняються лише в чотири рази (вони дорівнюють 2 і 8, оскільки 100 = 10² і 100 мільйонів = 10⁸). В розмові ми всі вживаємо грубу версію логарифмічних скорочень, коли говоримо про будь-яку зарплату між 100 000 дол. і 999999 дол. як шестизначну. Це «шість» є приблизним логарифмом цих зарплат, який насправді охоплює інтервал між 5 і 6.

Ці функції можуть бути настільки вражаючими, що один лише набір математичних інструментів може зробити дуже багато; саме тому я досі не змонтував мої книжкові полички Ikea.

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовська