Танцюючі квадрати

Про математику. Від основ до незбагненного.

 

 

Б'юсь об заклад, що я вгадаю вашу улюблену математичну дисципліну в старших класах.

 

То була геометрія.

 

Багато людей, з якими я зустрічався впродовж років, висловили своє захоплення цим предметом. Арифметика і алгебра – до них нема багато охочих. Але геометрія… Що ж, у ній є щось, від чого з’являється блиск в очах.

 

Може, це тому, що геометрія залучає праву сторону мозку і це приваблює людей з переважаючим розвитком зорової пам’яті, які інакше могли б відсахнутися від її холодної логіки? Можливо. Та інші люди говорять мені, що вони любили геометрію саме тому, що вона така логічна. Поступова побудова умовиводів, коли кожна нова теорема опирається на ті, які вже було доведено, – саме це є джерелом задоволення для багатьох.

 

Але щось мені підказує (і будьмо максимально відкритими, особисто я люблю геометрію), що люди захоплюються нею, тому що вона поєднує логіку та інтуїцію. Вона чудово залучає обидві півкулі нашого мозку.

 

Аби проілюструвати втіху від геометрії, заново перегляньмо Піфагорову теорему, яку ви, мабуть, пам’ятаєте у формі a² + b² = c². Почасти нашою метою тут є побачити, чому вона є істинною, і оцінити її значення. Поза тим, доводячи цю теорему двома різними способами, ми врешті-решт побачимо, як одне доведення може бути більш «елегантним», ніж інше, навіть якщо обидва є правильними.

 

В Піфагоровій теоремі йдеться про «прямокутні трикутники», тобто ті, в яких один з кутів є прямим (має 90 градусів). Прямокутні трикутники є важливими, тому що ви їх отримуєте, коли розрізаєте прямокутник навпіл вздовж його діагоналі:

 

 

А позаяк прямокутники часто виникають у найрізноманітніших постановках задач, то з’являються також і прямокутні трикутники.

 

Наприклад, під час землемірних робіт. Коли ви міряєте прямокутне поле, вам може захотітися знати відстань від одного кута до діагонально протилежного. (До речі, з цього історично й почалася геометрія, з проблем вимірювання терену чи вимірювання землі: geo = «земля» + metry = «вимірювання»).

 

Піфагорова теорема каже нам, наскільки довгою є діагональ порівняно зі сторонами прямокутника. Якщо одна сторона має довжину a, а інша – довжину b, то теорема каже, що діагональ має довжину c, де

 

a² + b² = c².

 

 

З якоїсь причини діагональ традиційно називають «гіпотенузою», хоча мені ніколи не стрічався той, хто знає чому. (Може, це знає хтось з латинських чи грецьких філологів?) Це мало би бути щось пов’язане з діагоналлю, що «стягує» прямий кут, але якщо вже говорити про професійну мову, то «стягування» є таким самим незрозумілим, як і «гіпотенуза».

 

У кожному разі, розглянемо, як працює теорема. Не ускладнюючи числа, скажімо, що a = 3 ярди, а b = 4 ярди. Щоб знайти невідому довжину с, ми надягаємо наші чорні ковпаки і промовляємо, що c² є сумою 3² плюс 4², тобто 9 плюс 16. (Маймо на увазі, що всі ці величини тепер вимірюються в квадратних ярдах, оскільки ми піднесли до квадрату ярди так само, як і числа). Й нарешті, позаяк 9 + 16 = 25, ми отримуємо = 25 квадратних ярдів і, взявши квадратні корені від обох сторін, дістаємо c = 5 ярдів – довжину гіпотенузи.

 

Якщо Піфагорову теорему розглядати саме так, то вона виглядає як теорема про довжини. Але традиційно її розглядали як теорему про площі. Це стає зрозуміліше, коли ви чуєте її звичне формулювання:

 

«Площа квадрату на гіпотенузі є рівною сумі площ квадратів на інших двох сторонах».

 

Зверніть увагу на слово «на». Ми не говоримо про квадрат гіпотенузи – це новомодна алгебраїчна концепція, що означає множення числа (довжини гіпотенузи) на себе. Ні, ми тут буквально вказуємо на квадрат, який спирається на гіпотенузу, як ось цей:

 

 

Назвімо його великим квадратом, щоб відрізнити від квадратів малого і середнього розмірів, які ми можемо побудувати на інших двох сторонах.

 

 

Тоді теорема каже, що великий квадрат має таку саму площу, що й складені разом середній і малий.

 

Тисячі років цей чудовий факт був відображений у рисунку, канонічній мнемосхемі танцюючих квадратів:

 

 

 

Якщо розглядати теорему в термінах площ, то її можна трактувати як розвагу. Наприклад, ви можете перевірити – а потім з’їсти її – будуючи квадрати з багатьох маленьких крекерів. Або ви можете сприймати її як дитячі пазли, зі шматочками різних форм і розмірів. Переміщаючи шматочки цих пазлів, ми можемо дуже просто довести цю теорему наступним чином.

 

Повернімося до похиленого квадрату, що спирається на гіпотенузу.

 

 

 

На інстинктивному рівні цей образ мав би змусити вас чутися ледь некомфортно. Квадрат виглядає потенційно нестійким, наче міг би перекинутися чи зсунутися вниз по похилій площині. Є ще також неприємна довільність у тому, яка з чотирьох сторін квадрата повинна дотикатися трикутника.

 

Керуючись цим інтуїтивним відчуттям, доставимо ще три копії трикутника зі всіх сторін квадрата, щоб утворити більш стійкий і симетричний рисунок:

 

 

Тепер пригадаємо те, що ми намагаємося довести: що похилений білий квадрат на попередньому рисунку (який власне і є нашим попереднім «великим» квадратом – він усе ще спирається на гіпотенузу справа) має таку саму площу, як і малий і середній квадрати, складені докупи. Але де ці інші квадрати? Щоб віднайти їх, ми маємо перемістити деякі трикутники.

 

Уявіть собі попередній малюнок як буквальне зображення пазлів з чотирма трикутними шматками, втиснутими в кутки жорсткої рамки пазлів.

 

Тепер пригадаємо те, що ми намагаємося довести: що похилений білий квадрат на попередньому рисунку (який власне і є нашим попереднім «великим» квадратом – він усе ще спирається на гіпотенузу справа) має таку саму площу, як і малий і середній квадрати, складені докупи. Але де ці інші квадрати? Щоб віднайти їх, ми маємо перемістити деякі трикутники.

 

Уявіть собі попередній малюнок як буквальне зображення пазлів з чотирма трикутними шматками, втиснутими в кутки жорсткої рамки пазлів.

 

 

В такій інтерпретації похилений квадрат є порожнім простором посередині обрамлення. Решта поверхні всередині рамки заповнене шматками пазлів.

 

Тепер спробуємо по-різному пересувати навколишні шматки. Звісно, ми не можемо змінити загальний об'єм порожнього простору всередині рамки, це завжди об'єм, який лежить поза шматками.

 

Тож блискучою ідеєю є переставити шматки наступним чином:

 

Цілком несподівано порожній простір перетворюється у дві фігури, які ми шукали, – малий квадрат і середній квадрат. І оскільки загальний об’єм порожнього простору завжди залишається тим самим, ми щойно довели Піфагорову теорему!

 

Це доведення є не просто переконливим; воно роз’яснює. Саме це робить його «елегантним».

 

Для порівняння розглянемо інше доведення. Воно однаковою мірою відоме і, можливо, є найпростішим доведенням, яке уникає використання площ.

 

Як і перед тим, розглянемо прямокутний трикутник зі сторонами, що мають довжину a і b, і гіпотенузою, довжиною c, як це зображено на нижньому рисунку зліва.

 

 

Тепер – є це боже натхнення чи напад геніальності , – але щось підказує нам опустити перпендикуляр до гіпотенузи з протилежного кута, як зображено на правому рисунку згори.

 

Ця вдала невеличка побудова утворює два маленькі трикутники всередині вихідного. Легко довести, що всі ці трикутники є «подібними» – це означає, що вони мають однакову форму, але різні розміри. З цього в свою чергу випливає, що довжини їхніх відповідних сторін мають ті самі пропорції, які перетворюються в наступну систему рівнянь:

 

Ми також знаємо, що

 

c = d + e

 

Тому що наша побудова просто ділить вихідну гіпотенузу довжиною c на дві менші частини, які мають довжини d і e.

 

На цій стадії ви можете трохи заплутатися чи принаймні не бути впевненими, що робити далі. Вгорі є трясовина п’яти рівнянь, і ми намагаємося зменшити їхню кількість, аби вивести, що

 

a² + b² = c².

 

Спробуйте це зробити впродовж кількох хвилин. Ви побачите, що два з цих рівнянь є несуттєвими. Це прикро; в елегантному доведенні не повинно бути нічого зайвого. Звісно, озираючись назад, ви би взагалі не наводили ці рівняння. Але це були б косметичні зміни, які не змінюють суті.

 

Однак якщо ви оперуватимете трьома потрібними рівняннями, теорема сама вискочить перед вами. Нижче наведено примітку з пропущеними кроками.

 

Чи погодитеся ви зі мною, що це доведення з естетичної точки зору є гіршим, від першого? По-перше, воно затягнуте в кінці. І хто запросив на забаву всю цю алгебру? Це мала бути геометрична вечірка.

 

Проте серйознішою вадою є ненаочність доведення. На той момент, коли ви продеретеся через нього, ви можете повірити теоремі (насилу), але ви все ще не будете бачити, чому вона справедлива.

 

Якщо залишити доведення осторонь, чому Піфагорова теорема є важливою? Тому що вона виявляє фундаментальну істину про природу простору. Це значить, що простір є плоским, а не викривленим. На поверхні кулі чи тору, наприклад, теорему потрібно модифікувати. Ейнштейн прийняв цей виклик в своїй загальній теорії відносності (де гравітація більше не розглядається як сила, а радше як вияв кривини простору). Те саме зробили Ріман та інші перед ним, коли закладали основи неевклідової геометрії.

 

Від Піфагора до Ейнштейна довгий шлях. Але принаймні це пряма лінія… на більшій частині шляху.

 

 

Примітка:

 

Ось пропущені кроки в другому вищенаведеному доведенні. Візьмімо наступне рівняння:

 

І помножмо його на a з двох сторін, щоб отримати

 

Подібні маніпуляції з іншим рівнянням дають нам

Й нарешті, підставивши значення d і e з вищенаведених виразів в рівняння c = d + e, отримуємо

Тоді, помноживши обидві частини на c, отримуємо бажану формулу:

 

a² + b² = c².

 

 

 

Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферувала Галина Грабовська

 

16.09.2016