Про математику. Від основ до незбагненного.
В імлі зі стовпчиків для ділення і загальних знаменників багато з нас пропустили наратив, який проходить через всю арифметику. Це історія пошуку щораз універсальніших чисел.
«Натуральні числа» 1, 2, 3 і так далі достатньо добрі — якщо все, що ми хочемо робити, це лічити, додавати і множити. Але як тільки нам треба було знати, скільки залишається, коли забрано все, ми змушені були створити новий вид числа — нуль; а оскільки борги можуть завести в мінус, нам також потрібні були від'ємні числа. Цей розширений всесвіт чисел, що його називають «цілі числа», є таким самим самодостатнім у кожному фраґменті, як і натуральні числа, але набагато потужнішим, позаяк він також містить у собі віднімання.
Нову кризу ми отримуємо, пробуючи випрацювати математику розподілу. Не завжди можна рівно розділити ціле число... Хіба що ми знову будемо розширювати всесвіт — цього разу винаходячи дроби. Це ratio — частки чи порції (раціони) цілих чисел, отже, їх технічна назва «раціональні числа». Це, на жаль, те місце, де багато студентів впираються в математичну стіну.
Щодо ділення і його наслідків є багато складного і заплутаного, але найбільше, певно, казить те, що існує стільки різних способів описати частину цілого.
Якщо розрізати якраз посередині шоколадний торт на дві рівні частини, то можна впевнено сказати, що кожен кавалок — це «половина» торта. Ту саму ідею можна виразити з допомогою дробу ½, маючи на увазі одну з двох рівних частин. (Коли ви це пишете в такий спосіб, то слеш — скісна риска між 1 і 2 — є візуальним нагадуванням того, що щось було нарізано). Третій спосіб — сказати, що кожна частина становить 50 відсотків від усього, тобто буквально 50 частин зі ста. І — ніби цього ще не досить — можна також скористатись десятковою системою й означити кожну частину як 0,5 цілого торта.
У певний спосіб це багатство вибору може бути винуватим в тій плутанині і розгубленості, яку багато хто з нас відчуває, коли стикається з дробами, відсотками і десятковими знаками після коми. Яскравим прикладом цього є епізод з фільму «Моя ліва нога», де показана правдива історія життя ірландського письменника, художника і поета Крісті Брауна. Він народився у великій робітничій сім'ї, хворів на церебральний параліч, що майже забрало йому можливість говорити чи контролювати будь-яку кінцівку, за винятком лівої ноги. Дитиною його часто іґнорували як розумово відсталого, і насамперед це стосувалося його батька, який зневажав його і жорстоко з ним поводився.
Центральна сцена у фільмі відбувається в кухні навколо столу. Одна зі старших сестер Крісті тихенько робить свою домашню роботу з математики, сидячи поруч з батьком, в той час коли Крісті, як завжди, відсунутий подалі, в кутку кімнати, скручений у своєму фотелі. Його сестра порушує тишу: «Скільки буде двадцять п'ять відсотків від чверті?» — запитує вона. Батько думає над цим: «Двадцять п'ять відсотків від чверті? Уххх ... Це дурне питання, ні? Я маю на увазі, що двадцять п'ять відсотків і є чверть. Не можна мати чверть чверті». Сестра відповідає: «Можна. Правда, Крісті?». Батько: «Ха! Що він там може знати?».
Скорчившись, Крісті пробує підняти шматок крейди своєю лівою ногою, затискає його між пальцями, і на плитці, що лежить на підлозі, йому вдається нашкрябати одиницю, тоді скісну риску, а потім щось таке, що годі розібрати. Це число 16, але 6 виходить задом наперед. Засмучений, він стирає п'яткою 6 і намагається написати знову, але цього разу крейда рухається задалеко, проходячи через 6, і число стає нечитабельним. «Це тільки нервова закарлючка», — фиркає його батько, відвертаючись. Крісті заплющує очі й відкидається назад, виснажений.
Крім драматизму сцени, у вічі впадає концептуальна риґідність батька. Що змушує його наполягати на тому, що не можна мати чверть чверті? Можливо, він думає, що чверть можна взяти тільки з цілого, або з чогось, що складається з чотирьох рівних частин. Але чого він не годен збагнути, так це того, що все складається з чотирьох рівних частин. У випадку чогось, що вже є четвертиною, його чотири рівні частини виглядають так:
Оскільки з цих 16 тоненьких кавалків можна скласти вихідне ціле, кожен кавальчик є ¹/₁₆ цілого — відповідь, яку Крісті намагався видряпати.
Декілька років тому весь Інтернет обійшла подібна версія такої психічної риґідності, тільки модернізована для цифрової ери, коли у стані фрустрації клієнт на ім'я Джордж Ваккаро записав і виклав у мережу свою телефонну розмову з двома представниками сервісу Verizon Wireless. Ваккаро нарікав на те, що йому було виділено Інтернет за ціною 0.002 центів за кілобайт, але його рахунок показав, що він має платити 0.002 доларів за кілобайт, тобто в стократ більше. На YouTube ця розмова піднялась у топ-50 в секції комедії.
Десь в середині запису між Ваккаро і Андреа, менеджеркою середньої ланки Verizon, відбувається кульмінаційний момент обміну арґументами:
В: «Ви визнаєте, що є різниця між одним доларом і одним центом?»
A: «Безперечно».
В: «Ви визнаєте, що є різниця між половиною долара і половиною цента?»
A: «Безперечно».
В: «То чи визнаєте ви, що є різниця між .002 доларів і .002 центів?»
А: «Ні».
В: «Ні?»
A: «Я маю на увазі, не існує... не існує .002 доларів».
За якусь хвильку Андреа каже: «Очевидно, що долар є 1,00, чи не так? Отже ж, як мав би виглядати .002 доларів? Я ніколи не чула про .002 доларів... Це просто неповний цент».
Заперечення конвертування між доларами і центами є тільки частиною проблеми Андреа. Реальний бар'єр — це її нездатність уявити собі їх частини.
З власного досвіду можу вам розказати, що це таке — бути збаламученим знаками після коми. У 8-му класі міс Стентон почала вчити нас, як перетворити звичайний дріб у десятковий. Ділячи в стовпчик, ми виявили, що деякі дроби дають знаки після коми, які закінчуються нулями. Наприклад, ¼ = 0,2500 ..., який можна переписати у вигляді .25, оскільки всі ці нулі нічого не дають. Інші дроби дають знаки після коми, які наприкінці повторюються, як-от
⁵/₆ = 0,8333...
Моїм улюбленим дробом був ¹/₇, чий десятковий аналог повторюється щошість цифр:
¹/₇ = 0,142857142857....
Труднощі почалися, коли міс Стентон вказала на те, що якщо ви потроїте обидві сторони простого рівняння
⅓ = 0,3333...,
то будете змушені зробити висновок, що 1 має дорівнювати 0,9999...
Тоді я запротестував, що вони не можуть бути рівні. Немає значення, скільки дев'яток вона написала, точно так само я міг би написати багато нулів в 1.0000..., а потім, якщо б ми відняли її число від мого, то трошечки, маленький кавальчик все одно б залишився, щось подібне до 0.0000...01.
Подібно до батька Крісті та представників сервісу Verizon, моє нутро не могло прийняти чогось, що щойно було мені доведено. Я бачив це, але відмовлявся вірити. (Це може нагадати вам деяких ваших знайомих.)
Але стає ще гірше — або ліпше, якщо вам подобається, як закипають ваші нейрони. Вертаючись до уроку міс Стентон — що зупиняє нас вивчати такі десяткові дроби, які і не закінчуються нулями за котримсь знаком після коми, і не повторюються періодично? Легко придумати такі цифри, від яких у вас захолоне у шлунку. Ось приклад:
0,12122122212222...
Ідея в тому, що в міру просування вправо блоки двійок стають щораз довшими. Неможливо зобразити цей десятковий дріб у вигляді звичайного дробу. Звичайні дроби завжди зводяться — що можна довести — до десяткових: зі скінченною кількістю цифр після коми або до таких, що цифри наприкінці періодично повторюються, а оскільки отой десятковий дріб ні одне, ні інше — він не може бути рівний відношенню жодних цілих чисел. Він «ірраціональний».
Взявши до уваги, яким хитромудрим є цей десятковий дріб, можна було б припустити, що ірраціональність є рідкісною. Навпаки, це типове явище. Можна уточнити: в певному сенсі майже всі десяткові дроби є ірраціональні. І їхні цифри виглядають статистично випадковими.
Тільки-но ви приймаєте ці вражаючі факти, як все стає навиворіт. Цілі числа і дроби, такі знайомі й любі, тепер видаються рідкісними й екзотичними. А цей невинний на вигляд ряд чисел, прикріплений до рамки класної дошки вашої початкової школи? Вам ніхто ніколи не казав, але це хаос.
Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферував Михайло Мишкало
26.08.2016