Про математику. Від основ до незбагненного.
Традиційно так склалося, що відразу після додавання дітей вчать віднімати. В цьому є сенс — в обох випадках використовуються одні й ті самі факти про числа, хоч і в зворотному напрямку. І чорна магія «позичання» так само критично важлива для успішного віднімання, лише трошки складніша, ніж у свого «маючого» аналога для додавання. Якщо ви зможете дати собі раду з калькуляцією 23 + 9, то зовсім скоро ви будете готові до 23 – 9.
На глибшому рівні, однак, віднімання порушує набагато тривожніше питання — такого плану, що ніколи не виникало у випадку з додаванням. Віднімання може ґенерувати від'ємні числа. Якщо я спробую взяти від вас 6 печив, але ви маєте тільки 2, то я не зможу цього зробити, хіба що у своїй голові, де тепер у вас є 4 від'ємні печива — хай би що це означало.
Віднімання змушує нас розширити нашу концепцію про те, що таке числа. Від'ємні числа набагато абстрактніші, ніж додатні, — ви не можете бачити 4 від'ємні печива і, звичайно, ви не може їх з'їсти — але думати про них ви можете, і маєте — в усіх аспектах буденного життя, від боргів і кредитних овердрафтів до температур холоду і підземних паркінґів.
Проте багато хто з нас все ще не змирився з від'ємними (неґативними) числами. Як зауважив мій колеґа Енді Руіна, щоб обійти страшнуватий неґативний знак, люди понавигадували собі всіляких химерних мисленнєвих стратегій. У звітах взаємних фондів втрати (від'ємні числа) друкуються червоним або вони ховаються в дужки без жодного знаку мінус. Історичні книжки кажуть нам, що Юлій Цезар народився в 100 році до н.е., а не в мінус 100-му році. Часто підземні рівні паркінґів названі як В1 і В2. Температури є одним з небагатьох винятків: люди справді говорять, особливо тут, в Ітаці, що назовні мінус 5 градусів, хоча навіть в цьому випадку багато хто воліє казати «5 градусів нижче нуля». Є щось таке в тому неґативному знаку, що виглядає так неприємно, так ... неґативно.
Можливо, нас вибиває з колії те, що від'ємне помножити на від'ємне є додатнім. Тому дозвольте мені спробувати пояснити вам, як це працює.
Як ми маємо визначити щось таке, як –1 × 3, де ми множимо від'ємне число на додатнє число? Що ж, так само як 1 × 3 означає 1 + 1 + 1, природне визначення для –1 × 3 є (–1) + (–1) + (–1), яке дорівнює –3. Це мало би бути очевидно, якщо йдеться про гроші: якщо ви щотижня заборговуєте мені $1, то через три тижні ви в мінусі на $3.
Звідти залишається зовсім короткий шлях, щоб побачити і зрозуміти, чому від'ємне, помножене на від'ємне, має стати додатним. Погляньмо на наступний рядок рівнянь:
–1 × 3 = –3
–1 × 2 = –2
–1 × 1 = –1
–1 × 0 = 0
–1 × –1 = ?
Тепер гляньмо на цифри, що є крайні справа, і зауважмо їх впорядковану проґресію:
–3, –2, –1, 0, ?
З кожним кроком ми додаємо 1 до номера перед ним. Отже, хіба ви не згодні, що за цією логікою наступне число має бути 1?
Це один з арґументів, чому (-1) × (-1) = 1. Пафос цієї дефініції полягає в тому, що вона зберігає правила звичайної арифметики; що працює для додатних чисел, працює також і для від'ємних чисел.
Але якщо ви затятий прагматик, то, можливо, поцікавитесь, чи ці абстракції мають якісь паралелі в реальному світі. Треба визнати, що життя, здається, часом грає за іншими правилами. У традиційної моралі дві помилки не дають одне правильне. Так само з подвійного неґативу не завше вийде позитив; але вони можуть зробити неґатив більш інтенсивним, як і в словах пісні «Я не можу дістати ніякого задоволення». (Хоча в реальності мови в цьому аспекті можуть бути дуже заплутаними. Видатний філософ-лінґвіст Дж. Л. Остін одного разу читав в Оксфорді лекцію, в якій стверджував, що існує багато мов, в яких подвійне заперечення (подвійна неґативність) дає ствердне (позитивне) значення, але немає жодної, в якій подвійне ствердження (позитивне значення) дає заперечення (неґативне значення) — на що філософ колумбійського університету Сідні Moрґенбессер, який сидів в аудиторії, з сарказмом відповів: «Так, так».
Все ж є багато випадків, коли реальний світ справді віддзеркалює правила від'ємних чисел. Коли нервова клітина приглушує збудження іншої, що, своєю чергою, приглушувала третю, то непряма дія першої клітини на третю рівносильна збудженню; ланцюжок двох неґативів робить позитив. Подібні ефекти відбуваються в реґуляції генів: білок може увімкнути ген, блокуючи іншу молекулу, яка пригнічувала цю ділянку ДНК.
Можливо, найбільш знайома нам паралель належить соціальній та політичній сферам — що підсумовано прислів'ям «Ворог мого ворога мій друг». Цей труїзм, як і пов'язаний з ним труїзм про друга мого ворога і т. д., може бути відображено трикутниками відносин.
Кутові позначки означають людей, компанії або країни, а сторони, що з'єднують їх, означають їхні відносини, які можуть бути позитивними (дружніми, які показані тут суцільними лініями) або неґативними (ворожими, показано пунктирними лініями).
Такі трикутники, як зліва, з усіма позитивними сторонами, соціологи називають «збалансованими» — оскільки там немає жодних причин змінювати свої почуття, бо ж розумно відчувати симпатію до друзів свого друга. Так само і трикутник справа з двома неґативними сторонами і однією позитивною вважається збалансованим, оскільки він не спричиняє дисонансу; навіть попри те, що він допускає ворожість, — ніщо не цементує дружбу так, як ненависть до спільного ворога.
Звичайно, трикутники можуть бути також і незбалансованими. Коли три взаємні вороги усвідомлять ситуацію, у двох з них — часто це два найменш ворожі — може виникнути спокуса об'єднати свої сили і виступити проти третього.
Ще більш незбалансованими є трикутники з однією стороною неґативних відносин. Наприклад, припустимо, що Керол дружить і з Алісою, і з Бобом, але Аліса і Боб зневажають одне одного. Можливо, колись вони були парою, але тепер страждають, переживши неприємний розрив стосунків, і кожне з них обмовляє іншого перед лояльною до всіх Керол. Це спричинює загальну психологічну напругу. Щоб відновити баланс, Аліса і Боб мають помиритися, або Керол має стати на чийсь бік.
Якщо облишити аспект правдоподібності цієї моделі, тут є досить цікаві питання із суто математичного погляду. Наприклад, в тісно зв'язаній мережі, де всі одне одного знають, — який стан є найстабільнішим? Одним з можливих варіантів є варіант нірвани доброзичливості, де всі відносини є позитивними, і всі трикутники збалансовані. Але як не дивно, існують ще й інші так само стабільні варіанти станів. Це варіанти станів впертого конфлікту, з мережею, розділеною на дві ворожі фракції. Між собою всі члени даної фракції дружні, але щодо кожного члена іншої фракції налаштовані антагоністично. (Звучить знайомо?). Можливо, ще більш несподіваним буде те, що ці поляризовані стани є єдиними станами, настільки ж стабільними, як і нірвана. Зокрема, за жодного тристороннього поділу неможливо отримати всі трикутники збалансованими.
Ці ідеї науковці використовували, наприклад, для аналізу ситуації напередодні Першої світової війни. Нижче, на схемі, показано змінні альянси між Великою Британією, Францією, Росією, Італією, Німеччиною та Австро-Угорщиною у період між 1872 і 1907 роками.
Всі перші п'ять конфіґурацій були незбалансовані, в тому сенсі, що кожна з них містила в собі принаймні один незбалансований трикутник. Дисонанс, що був результатом цього, штовхав ці країни перебудовуватись, а це урухомлювало спусковий механізм ланцюгових реакцій в інших місцях мережі. На фінальній стадії Європа розкололась на два невмолимо ворожі блоки — технічно «збалансовані», але на межі війни.
Суть не в тому, що ця теорія є потужним інструментом для здійснення передбачення. Ні, вона не є такою. Вона занадто проста, щоб врахувати всі тонкощі геополітичних динамік. Суть у тому, що певна частина того, що ми спостерігаємо, — це не більш як результат застосування примітивної логіки «ворог мого ворога", і ця частина чудово фіксується множенням від'ємних чисел. Відсіюючи тривіальне від сутнісного, арифметика від'ємних чисел може допомогти нам побачити, де є реальні головоломки.
Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферував Михайло Мишкало