Нарізає плястерками, ділить кубиками

 

Часто математичні знаки і символи є загадковими, але більшість із них дають візуальну підказку, що вони означають. Символи нуля, одиниці та нескінченності вдало нагадують порожню діру, одну позначку і безкінечну петлю: 0, 1, ∞. І знак рівності «=» сформовано з двох паралельних ліній, бо, як сказав у 1557 році його творець, валлійський математик Роберт Рекорде, «жодні інші дві речі не можуть бути більш рівними».

 

У численні найбільше впізнаваним символом є знак інтеґрала:

 

 

Його ґраційні лінії видобувають з пам'яті образ музичного ключа або скрипковий f-подібний отвір — чудовий збіг, якщо взяти до уваги, що деякі з найзахопливіших гармоній у математиці виражені інтеґралами. Але справжня причина, чому Ляйбніц вибрав цей символ, є менш поетичною. Це просто видовжений знак S, для «підсумовування».

 

Щодо того, що підсумовують, це залежить від контексту. В астрономії ґравітаційне тяжіння Сонця стосовно Землі описано інтеґралом. Він становить колективне зусилля всіх мікроскопічних сил, ґенерованих кожним сонячним атомом на їхніх розмаїтих відстанях від Землі. В онкології зростання маси твердої пухлини можна змоделювати інтеґралом. Так само можна змоделювати кумулятивний обсяг ліків, приписаних під час курсу сеансів хіміотерапії.

 

Історично інтеґрали спершу виникли в геометрії через проблеми з визначенням площі викривлених форм. Як ми знаємо, площу кола можна розглядати як суму багатьох тонких шматків торта. В межах безкінечно багатьох шматків, кожен з яких є безкінечно тонким, їх можна буде дотепно наново вкласти в прямокутник, площу якого обчислити набагато легше. Це було типовим використанням інтеґралів. Вони всі про те, як узяти щось складне і покроїти й поділити так, щоб було легко все це додати.

 

У тривимірному узагальненні цього методу Архімед (а перед ним Евдокс Кнідський, близько 400 років до нової ери) обчислив об'єми сфер, конусів, бочок, призм й інших розмаїтих твердих форм, подавши їх як штабель багатьох пластинок або дисків, як тонко порізану салямі. Підрахувавши об'єм різних шматків, а тоді майстерно інтеґрувавши їх — додавши знову разом, — вони змогли обчислити об'єм ориґінального первісного предмета.

 

Сьогодні ми, як і раніше, просимо математиків і науковців, що подають надії, щоб вони відточували своє вміння інтеґрального числення, застосовуючи його для вирішення цих класичних проблем геометрії. Це одні з найважчих завдань, які ми задаємо, і багато студентів ненавидять їх, але немає вірнішого способу відшліфувати легкість володіння інтеґралами, що необхідне для успішної праці в будь-якій квантитативній дисципліні — від фізики до фінансів.

 

Одна з таких головоломок стосується об'єму тривимірної фіґури, спільної для двох ідентичних циліндрів, що перетинаються перпендикулярно — як труби на кухні. Треба мати незвичайну здатність уяви, зробити собі чітку візуалізацію цієї форми.

 

Отже, немає нічого ганебного в тому, щоб визнати поразку і шукати спосіб, як зробити цю форму більш уявною. Щоб зробити так, ви можете вдатися до трюку, який використовував мій шкільний учитель математики. Візьміть бляшанку і зріжте верх ножицями до металу, щоб сформувати циліндричний інструмент для вирізання серцевини. Тоді виріжте серцевину у великій картоплині «айдахо» або в шматку пінопласту у двох взаємно перпендикулярних напрямках. Огляньте, не поспішаючи, форму, яку ви отримали в підсумку.

 

Не маючи ні картоплини, ні пінопласту, ми мусимо погодитися вирішити це намаганням передати на пласкій поверхні, як виглядає це дивне тіло:

 

 

Дивовижно, хоч і створена з двох круглих циліндрів, проте ця форма має квадратні поперечні розтини. Це штабель з безкінечно багатьох шарів, кожен з яких є квадратом, конусоподібний від великого квадрату в середині і спадаючий поступово до менших квадратів, і нарешті до самих точок на верху і на дні.

 

Тепер комп'ютерна анімація уможливлює розкриття структури форми набагато легше й наочніше.

 

 

Усе ж зобразити форму — це просто перший крок. Залишається визначити її об'єм.

 

Архімед зміг обчислити її, але тільки завдяки своїй неймовірній винахідливості. Він використав механічний метод, який базувався на важелях і центрах ґравітації, фактично подумки, зважуючи форму, порівнюючи її з іншими, які він уже розумів. Вадою його підходу, крім потреби в надто високих здібностях, було те, що він застосовний тільки до обмеженого ряду форм.

 

Ці концептуальні перешкоди ставили в безвихідь найкращих математиків світу протягом наступних 19 століть… аж до середини 1600-х, коли Ґреґорі, Барроу, Ньютон і Ляйбніц створили те, що сьогодні відоме як фундаментальна теорема числення, або формула Ньютона-Ляйбніца. Фундаментальна теорема є потужним зв'язком між інтеґралами і темою попередньої колонки — похідними. Вона великою мірою розширює всесвіт інтеґралів, які можна розв'язати, і зводить їх обчислення до рутинної роботи. В наші дні комп'ютери можна запрограмувати на її використання — і так само можуть робити студенти. З її допомогою навіть проблема двох перпендикулярних труб, що свого часу була викликом світового класу, тепер стає вправою в межах пересічного досягнення.

 

Непрактично описувати тут саму формулу. Натомість я спробую пояснити, чому вона є таким неймовірним проривом. Вона дозволила математикам набагато точніше передбачити змінюваність світу, ніж це будь-коли було можливо.

 

Найпростіший вид змін можна було обчислити за допомогою алгебри. Коли щось змінюється постійно, з постійною швидкістю, алгебра працює чудово. Це сфера формули «відстань дорівнює швидкості, помноженій на час». Наприклад, автомобіль, який рухається з незмінною швидкістю 60 миль за годину, проїде 60 миль за першу годину і 120 миль на кінець другої години.

 

А як щодо змін, які відбуваються зі змінною швидкістю? Така змінна швидкість всюди навколо нас — у збільшенні швидкості пенні, кинутого з високого будинку, у потоках відпливів і припливів, в еліптичній орбіті планет, у наших внутрішніх добових ритмах. І числення (математичний аналіз) може впоратися з кумулятивними ефектами змін, настільки неоднакових, як ці.

 

Майже протягом двох тисячоліть після Архімеда існував тільки один метод передбачити сукупний ефект змінних змін: додавати різні пласти один за одним. У більшості випадків це неможливо зробити. Безкінечні суми були надто складні.

 

Формула Ньютона-Ляйбніца дала змогу вирішити чимало таких проблем — не всі, але набагато більше, ніж перед тим. Вона часто давала коротший шлях для розв'язання інтеґралів, принаймні для елементарних функцій (сум і добутків степенів, експонент, логарифмів і тригонометричних функцій), що описують так багато явищ у світі природи.

 

Із цієї перспективи спадком інтеґрального числення є погляд на всесвіт у стилі кухонного комбайна Veg-O-Matic, який нарізає овочі плястерками. Ньютон і його послідовники вчили нас, що природа розкривається шарами. Виявилося, що фактично всі класичні закони фізики, відкриті за останні 300 років, мають цей характер: описують вони рух частинок чи потік тепла, електрики, рух повітря чи води. Разом із законами закономірностей умови на кожному відтинку часу чи простору визначають, що трапиться на суміжних пластах.

 

Наслідки були глибокими і суттєвими. Вперше в історії стало можливим раціональне передбачення… не тільки одного пласта за раз, а й з допомогою формули Ньютона-Ляйбніца — перескакуючи пласти.

 

Отже, нам давно треба модернізувати наше гасло для позначення інтеґралів з «Нарізати плястерками, ділити кубиками» на «Перерахунок. Кращий маршрут доступний».

 


Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферував Михайло Мишкало

22.07.2016