Задовго перед тим, як дізнався, що таке математичний аналіз, я відчував, що є щось особливе щодо нього. Мій батько говорив про нього шанобливим тоном. Як дитина Депресії він не зміг відвідувати коледж, але десь протягом свого життя — можливо, впродовж часу, пробутого на Тихому океані, коли він ремонтував двигуни бомбардувальників B-24, — він відчував, на що здатне числення. Уявіть собі механічно керовану батарею зенітних гармат, що автоматично стріляють по бойовому літаку, який наближається. Математичний аналіз, припускав він, можна використати, щоб віддавати команду гарматам, у що цілитися.
Щороку близько мільйона американських студентів беруться за вивчення матаналізу. Але набагато менше їх реально розуміють, про що цей предмет, або можуть сказати, нащо його вивчають. Це не їхня провина. Існує так багато технологій, які треба опанувати, так багато ідей, які належить сприйняти, що легко не помітити картини в цілому.
Математичний аналіз — це математика змін. Він описує все: від поширення епідемії до зиґзаґів добре кинутого бейсбольного м'яча. Предмет є ґарґантюанських розмірів — і такими самими є його підручники. Обсяг багатьох перевищує 1 000 сторінок, і вони чудово слугують за підпору для дверей.
Але в межах цієї великої маси ви виявите дві ідеї, які просвічують наскрізь. Все решта, як казав про «Золоте правило» ребе Гіллель, просто коментарі. Ці дві ідеї — це «похідні» та «інтеґрали». Кожна домінує на своїй власній половині предмету, названій на її честь, — у диференціальному та інтеґральному численні.
Грубо кажучи, похідна описує вам, як швидко щось змінюється; інтеґрал каже вам, скільки того чогось акумульовано. Вони народжені в різні часи, в різних місцях: інтеґрали — у Греції близько 250 років до нашої ери; похідні — в Англії та Німеччині в середині 1600-х. Утім в сюжетному повороті, просто як з Діккенсового роману, вони виявилися кревними родичами — хоча щоб побачити родинну схожість, знадобилося майже два тисячоліття.
В наступній колонці ми поговоримо про цей неймовірний зв'язок, як і про значення інтеґралів. Але спочатку, закладаючи фундамент, розгляньмо похідні.
Похідні навколо нас, навіть якщо ми не розпізнаємо їх такими. Наприклад, нахил сходів є похідною. Як усі похідні, він вимірює швидкість змін, тут — як далеко ви зайдете вгору чи вниз із кожним вашим кроком. Стрімкі сходи мають велику похідну. Сходи, які пристосовані для інвалідного візка, з невеликим нахилом, мають малу похідну.
Кожна ділянка науки має свої похідні. Вимірюється вона «маржинальним (граничним) доходом», чи «темпами зростання», чи «швидкістю», чи «нахилом» — як завгодно названа похідна солодко пахне. На жаль, багато студентів, як виглядає, після курсу матаналізу виходять із набагато вужчою інтерпретацією, розглядаючи похідну як синонім нахилу кривої.
Сумбур в їхній голові можна зрозуміти. Він спричинений тим, що ми покладаємося на графіки, щоб виразити кількісні відносини. Рисуючи y vs x для візуалізації того, як одна змінна впливає на іншу, всі науковці переводять свої проблеми у спільну мову математики. Швидкість змін, що насправді цікавить їх, — чи то швидкість поширення вірусу, швидкість літака чи будь-що інше, — тоді конвертується у щось набагато абстрактніше, але яке легше зобразити: нахил на графіку.
Як і нахили, похідні можуть бути позитивними, неґативними чи нульовими, вказуючи на те, що щось зростає, падає чи нівелюється. Постежте за грою Майкла Джордана, коли він робить свої найкращі 10 кидків.
Якраз одразу після відривання від землі його вертикальна швидкість (швидкість, з якою його підйом змінюється з часом, отже, іншими словами — похідна) є позитивною, тому що він рухається вгору. Його підйом збільшується. На шляху вниз ця похідна неґативна. І в найвищій точці його стрибка, де він, здається, зависає в повітрі, його підйом на якусь мить не змінюється і його похідна рівна нулю. У цьому сенсі він справді висить.
Тут спрацьовує загальніший принцип: все завжди змінюється повільніше на вершині та на дні. Це особливо помітно тут, в Ітаці. Найтемніші дні зими не просто немилосердно короткі, вони ледве відрізняються один від одного. Тимчасом як зараз, коли раптом починається весна, дні швидко стають довшими. Усе це має сенс. Зміна найповільніша на екстремумах саме тому, що похідна тут рівна нулю. На якусь мить речі застигають.
Ця нульова похідна, властивість піків і западин, лежить в основі деяких найпрактичніших застосувань обчислення. Це дозволяє нам використати похідні, щоб з'ясувати, де функція досягне максимуму і мінімуму, — питання, яке виникає щоразу, коли ми шукаємо найкращий, найдешевший чи найшвидший спосіб щось зробити.
Мій шкільний учитель містер Джофрей, який навчав мене матаналізу, мав дар оживляти ці питання «максимуму-мінімуму». Одного дня він ввалився в клас і почав розказувати нам про свою прогулянку засніженим полем. Очевидно, вітер надув багато снігу на частину поля, вкривши його товстим шаром і змусивши вчителя пройти цю ділянку набагато повільніше, тимчасом як решта поля була не засніжена, дозволивши йому легко здолати її. В такій ситуації він зацікавився, який маршрут має вибрати мандрівник, щоб якнайшвидше дістатися з пункту A в пункт B.
Хтось запропонував пробрести напростець через глибокий сніг, щоб скоротити найповільнішу ділянку шляху. Хоча недоліком цього є те, що решта подорожі займе більше часу.
Інша стратегія — прямувати просто від A до B. Це, звичайно, найкоротша відстань, але коштом додаткового часу на найважчу частину подорожі.
Користуючись диференціальним численням, ви можете знайти найкращий шлях. Це, звичайно, особливий компроміс між двома маршрутами, які розглянули вище.
Аналіз охоплює чотири основні кроки.
По-перше, зауважте, що загальний час подорожі — те, що ми саме й намагаємося мінімізувати, — залежить якраз від одного числа, відстані x, де подорожній вийде зі снігу.
По-друге, маючи вибір x і знаючи позиції точки A і кінцевого пункту B, ми можемо підрахувати, скільки часу подорожній витратить на проходження швидкої та повільної ділянок поля. Для кожного етапу подорожі це обчислення вимагає теореми Піфагора і старої мантри алгебри: «Відстань дорівнює швидкості, помноженій на час». Додавши час обох етапів, ми отримаємо формулу для загального часу подорожі T як функцію x.
По-третє, ми побудуємо графік залежності T від x. Нижня точка кривої — точка, яку ми шукаємо, — відповідає найменшому часу подорожі, а отже, найшвидшому маршруту.
По-четверте, щоб знайти найнижчу точку, ми застосуємо згаданий вище принцип нульової похідної. Ми обчислимо похідну T, прирівняємо її до нуля і розв'яжемо щодо x.
Ці чотири кроки вимагають знання геометрії, алгебри і різних формул похідної з обчислення — це вміння еквівалентне вільному володінню іноземними мовами і, отже, є каменем спотикання для багатьох студентів.
Але кінцева відповідь вартує цих зусиль. Вона відкриває для нас те, що найшвидший шлях підлягає співвідношенню, відомому як закон Снелліуса. Зловісно, але природа також його дотримується.
Закон Снелліуса-Декарта описує, як заломлюються промені світла, коли вони проходять через повітря у воду, і як вони це роблять, сяючи в плавальному басейні. У воді світло рухається повільніше, майже так само, як наш подорожній в снігу, і заломлюється так, щоб мінімізувати свій шлях. Так само світло заломлюється і тоді, коли проходить через повітря в скло чи пластик, як їх заломлюють лінзи ваших окулярів.
Зловісність ідеї в тому, що світло поводиться так, ніби воно розглядає всі можливі шляхи й автоматично вибирає найкращий. Природа — алюзія на музичну тему телесеріалу The Twilight Zone — якимось робом знає числення.
Steven Strogatz
The Joy of X
Зреферував Михайло Мишкало
15.07.2016